问：函数连续性的定义是什么？如何判定一个函数是连续的？
- 答：函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,
若lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
判定函数连续求导就可以，如果可导就肯定连续。
拓展资料
函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 - 答：根据函数连续性的定义：对于域中的任意一个x0，在x0的域中存在
limf（x）=f（x0）（x->x0），
即当x0处函数的极限值等于该点的函数值时，该点的函数是连续的。如果函数在域中的每个点都是连续的，则函数在域中是连续的。
从图像的角度看，如果函数是连续的，图像就是一条连续的曲线。如果从某个点中断，则函数在该点不是连续的。
首先，函数应该在这一点上定义；其次，函数应该在这一点上有一个极限（即左极限应该等于右极限）；最后，函数在这一点上的极限值必须等于函数在这一点上的极限值。如果这三点同时满足，我们可以说函数在这一点上是连续的。 - 答：函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
判定函数连续求导就可以，如果可导就肯定连续。
拓展资料：
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果有 ，则称函数在点 处连续，且称 为函数的的连续点。
设函数在区间 内有定义，如果 在 的左极限存在且等于 ，即 ，那么就称函数在点 左连续。
设函数在区间 内有定义，如果 在 处右极限存在且等于 ，即：
，那么就称函数 在点 右连续。
参考资料： - 答：1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
扩展资料
间断点的定义：
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4.振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。 - 答：所谓连续，有两种定义方法：
1.设f（x）在点Xo的某邻域内有定义，若
lim△y（△x→0）＝lim［f（Xo+△x）－f（Xo）］Xo=0 （△x→0）
则称函数f（x）在点Xo连续，点Xo称为f（x）的连续点。
2.设函数在点Xo的某一邻域内有定义，且有limf（x）＝f（Xo） （x→Xo），则称函数f（x）在点Xo处连续。 - 答：函数连续性的定义
定义1 设函数在点x0的领域内有定义,若:
(1)极限 存在
(2)极限值满足:
称函数f(x)在x0点连续.
根据这个定义来判断函数的连续性 - 答：函数在点X处的极限等于该点的函数值，那么函数在该点就是连续的。如果X是定义域内任意点，那函数就是连续的。
判定函数连续求导就可以，如果可导就肯定连续。
最好是那具体的题目理解一下。 - 答：1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。
扩展资料
间断点的定义：
间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4.振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
参考资料： - 答：我在北航学工科，我们学的各种定义（主要说大一上学的那些）主要是用ε-δ语言说明的，然后连续的话是说，对于任意的ε>0，都存在相应的δ，使得当lx-x0l<δ时，就有l fx-fx0 l＜ε，则fx在x0处连续。
通俗点讲就是，当x变化的无限小时，fx也变的无限小，即Δx→0，Δfx→0，所以这就也说明了为什么y=1/x在（0,1）上连续但不一致连续，因为连续是对于一个确定的x0，那么该点的变化率确定，而一致连续则不依赖于x0，所以可以无限趋近于0，从而变化率可以趋近于无穷（注意区分无穷跟极大的区别，10^10000000叫极大但不无穷大）。
问：怎么讨论函数的连续性？
- 答：讨论函数的连续性：
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
一致连续性：
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
问：函数的连续性是什么意思
- 答：直观理解:函数图像连续。
直观意义就是：
两个点之间可以插入无数个点，一直插入到两个点之间没有空隙；
例如 y = x 取 x = 1，跟 x = 2 两个值，y = 1，y = 2 是它们对应的值，在这两点之间，x 可以取任何值。也就是说，我们没有任何理由 x 不取某个值。在这样的情况下，这两个点之间可以填满无数个点，把这些点连起来的图形没有断断续续的点，而是一条没有断点没有缝隙的直线。没有断点的线，无论是直线还是曲线就是连续的线。函数连续就是图形没有断点，没有缝隙，没有漏洞。
精确定义：limf(x) = f(x0) x->x0时，则称f在x0处连续。引入增量的概念后，连续的定义等价于 lim△y=0 △x->0时。(即x的变化很小时，y的变化为0）或者用ε-δ方式叙述：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有：|f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。
拓展资料
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
参考资料：连续函数百度百科 - 答：直观理解:函数图像连续。
精确定义：limf(x) = f(x0) x->x0时，则称f在x0处连续。
引入增量的概念后，连续的定义等价于 lim△y=0 △x->0时。(即x的变化很小时，y的变化为0）
或者用ε-δ方式叙述：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有：
|f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续
若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。 - 答：对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有 ，则称函数在点 x0 处连续，且称 x0为函数的的连续点。函数f(x)在点x0处连续的充要条件是函数y=f(x)在点x0处既左连续又右连续。
扩展资料：
一、不连续”是不能同时满足连续的三个条件的点：
1、函数在该点处没有定义；
2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在；
3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。
二、连续函数的定理：
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
参考资料： - 答：直观理解:函数图像连续。 精确定义：limf(x) = f(x0) x->x0时，则称f在x0处连续。 引入增量的概念后，连续的定义等价于 lim△y=0 △x->0时。(即x的变化很小时，y的变化为0） 或者用ε-δ方式叙述：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有： |f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续 若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。
拓展内容：
函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 - 答：您好，可以这样理解：
直观理解:函数图像连续。
精确定义：limf(x) = f(x0) x->x0时，则称f在x0处连续。
引入增量的概念后，连续的定义等价于 lim△y=0 △x->0时。(即x的变化很小时，y的变化为0）
或者用ε-δ方式叙述：若对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有：
|f(x)-f(x0)|<ε，则称f在x0处连续
若f在区间I上任一点都满足上述定义，则称f在I上连续。
拓展资料：
连续函数的性质
① 如ƒ(x)、g(x)都在x=α处连续，则ƒ(x)±g(x)，ƒ(x)g(x)， （只要g(α)≠0)也在x=α处连续。
② 如ƒ(x)在x=α处连续，且ƒ(α)≠0，则必在x＝α的某一小δ邻域（即|x-α|<δ）中，ƒ(x)不变号,即ƒ(x)与ƒ(α)同号。
③ 在闭区间上的连续函数,必有上界和下界，且有最大值和最小值，并能取最小值和最大值之间的一切中间值。
参考资料： - 答：函数连续性指的函数在某个区间上的性质,只要函数在确定的区间上图象是连续的,那么就说函数在这个区间上有连续性(类比于单调性)
- 答：函数连续性定义：
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
拓展资料：
1、充要条件：
函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
2、法则：
定理一：在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二：连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三：连续函数的复合函数是连续的。这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。 - 答：函数F(x)在点x=a处有定义,F(x)在x趋向于a处的极限值存在,且F(x)在a点的极限值等于在那点的函数值,我门就说函数F(x)在点x=a处连续.
楼上的别顾弄玄虚,又没那么难,其实特简单.
