一、一类三阶微分方程激波解的多层现象（论文文献综述）
李军[1]（2021）在《物理信息神经网络与可积方程的局域波》文中研究指明本文首先描述了物理信息神经网络（PINN）模型,针对经典PINN算法在求解微分方程等具体问题中的不足提出了几个改进PINN算法并对其进行了简要分析.然后重点将PINN算法以及几个改进的PINN算法应用到非线性局域波的系统研究中,其中局域波包括孤子、呼吸子和怪波.本文主要包含三个方面的工作:1.阐述了深度前馈神经网络的统一表示,对基本激活函数及其最新的研究进展进行了较系统的分析和讨论,简要论述了反向传播算法并给出了几个常见权重初始化策略严格的数学推导过程;2.介绍了物理信息神经网络所需的（一阶和二阶）优化算法和自动微分技术,并将其应用到重要的非线性可积系统局域波的求解;3.针对经典的PINN算法提出了几个改进策略,并对这些改进部分进行了分析与讨论,同时将这些改进的PINN算法运用于可积方程局域波的研究.第一章,为本文的绪论部分,介绍了可积系统、局域波、深度学习的背景和发展现状以及物理信息神经网络及其在数学物理方程等重要的科学与工程问题中的应用,并阐明本文的主要工作.第二章,介绍了深度前馈神经网络,对基本的激活函数及其最新的研究进展进行了较系统的分析和讨论,在简要论述了误差回传的反向传播算法后给出了几个常用权重初始化策略（如Xavier初始化和He初始化）严格的数学推导过程.本章最后部分对一些常用的梯度下降算法及其最近的研究进展进行了简要的分析与讨论.第三章,介绍了以神经网络的通用近似定理和自动微分技术为核心的PINN算法的通用框架.给出了PINN算法求解一般偏微分方程（PDEs）的详细过程和流程图,简要讨论了神经网络求解PDEs时所采用的优化算法.通过简单动力系统求解示例说明,与标准神经网络方法相比,PINN算法只需少量的训练数据就可以达到很好的数据拟合效果,同时模型具有更好的预测和泛化能力.最后,将PINN算法成功应用到二阶Burgers方程的局域波求解.第四章,提出了一种带正弦周期函数的PINN算法,相对于经典的神经网络结构,这样改进的PINN算法能够学习到解信号中的高频信息.然后将改进后的PINN算法运用于求解三阶Kd V方程的多孤子解、m Kd V方程的孤子解与呼吸子解、Kd VBurgers方程的扭结解以及Sharma-Tasso-Olver（STO）方程的孤子聚变与裂变等问题中,结合多种图像信息生动刻画了这些局域波解的复杂动力学特征.第五章,提出了一种带Res Net模块的PINN网络结构,跳层连接的残差结构能够有效地缓解经典多层前馈神经网络中常常出现的梯度消失和网络退化等问题.同时在这个改进的PINN算法中选用了一个新的损失函数,并将这一改进的PINN算法用于强非线性sine-Gordon方程的反扭结解研究中.此外,还讨论了不同的随机环境、噪声、初边值数据点数、内部配置采样点数、神经网络层数以及每个隐藏层的神经元数目等对模型结果的影响.第六章,提出了一种带自适应激活函数的PINN算法,通过给每个神经元赋予自由学习的能力,极大地提升了算法的效率和模型的性能.非线性不连续函数拟合示例从实验仿真及频谱分析上揭示,与固定激活函数的神经网络方法相比,自适应算法能够更快地学习到复杂信号的高频部分.然后,应用这一改进的自适应PINN算法成功地研究了导数非线性Schr¨odinger方程的局域波解,包括一阶有理孤子解、一阶真有理孤子解、二阶真有理孤子解以及二阶怪波解,特别是揭示出高阶怪波解的复杂动力学行为.第七章,对全文进行总结与展望.
高俊磊[2]（2021）在《二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析》文中研究说明本文用数学方法研究亚音速流与跨音激波的稳定性.我们在二维直管道中,分别考虑热交换效应对跨音激波稳定性的影响,以及带添质效应亚音速流的稳定性.本文首先研究二维管道中热交换效应对跨音激波稳定性的影响.跨音激波在超音速喷管的气动设计中起着至关重要的作用.以往的研究表明,对于恒定截面直管道中的定常可压缩Euler流,在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,得到的跨音激波是不稳定的.但是在物理实验中观察到的跨音激波却是稳定的.若将直管道改换成扩张形或在流动过程中考虑摩擦力的影响,则按照上述方式扰动下的跨音激波却有稳定性.我们以瑞利流1为模型,进一步探究在二维直管道中具有热交换效应的定常可压缩Euler流,在上述扰动下的跨音激波是否也具有稳定性?我们证明了对于给定单位质量气体的热交换,当上游管道进口处超音速来流和下游出口处压强的扰动满足一定的对称条件时,可以得到几乎所有对应的一维跨音激波都是稳定的,而对于给定单位体积气体的热交换,由此确定的一维跨音激波是不稳定的.数学上,我们研究了双曲-椭圆复合型守恒律方程组的非线性自由边界问题.通过特征分解将亚音速Euler系统的椭圆部分和双曲部分在Lagrange坐标系中解耦.由于热交换效应在流场中具有更加复杂的相互作用,我们通过Fourier分析和对常微分方程边值问题的细致分析,研究了一类具有非局部边界条件的较一般的线性变系数一阶椭圆双曲强耦合系统的适定性.本文还研究二维直管道中具有添质效应亚音速流的稳定性.研究添质问题的目的是为了进一步探究在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,添质效应对跨音激波是否也具有稳定性做准备工作.我们在二维等截面直管道中构建一类只依赖管道轴向x的亚音速特解,通过证明这种特殊的亚音速流关于进出口适当边界条件的二维扰动的亚音速解的稳定性,表明该边值问题提法的合理性.由于亚音速Euler方程组是拟线性椭圆-双曲复合型的,处理这类问题一般的方法是将方程组的椭圆与双曲模式分离.然而,在添质问题中的质量守恒方程含有源项,导致通常在二维情形采用Lagrange坐标变换和特征分解将椭圆与双曲模式分离的办法失效.为此,我们构建了一种新的将Euler方程组的椭圆模式与双曲模式主部分离,低阶项耦合的分解方式.由于添质效应使得流场具有更强的相互作用,进而诱导了一类含有多个积分非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题.我们综合利用Fourier分析、线性代数、解析函数理论和二阶椭圆型方程正则性理论,得到了该类问题的适定性.特别地,我们在一类x向异性Holder空间与通常的Holder空间中分别研究输运方程组与二阶椭圆方程型的正则性,并以此为基础设计非线性迭代格式,得到的所有物理量具有一样的正则性.下面简单介绍本文的结构安排.第一章是绪论,介绍本文的研究背景,提出了本文关心的问题以及主要结果.在第二章,给出了本文所需要的一些基础知识.在第三章,利用隐函数定理分别构造一维情形瑞利流的亚音速、超音速、跨音激波特解和添质问题的亚音速特解.在第四章,我们在第4.1节将原问题在Lagrange坐标中重新表述,通过线性化将其转化成一个具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组固定边界问题和一个用于更新激波形状的常微分方程Cauch场问题.第4.2节,研究一类具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组的适定性.在第4.3节中,构造非线性映射,通过映射压缩性来证明本文第一个主要结果.在第五章,我们在第5.1节,给出了带添质效应的Euler方程组在二维管道中的一个新的等价分解方式,其中包括熵与总焓的输运方程组Cauchy问题、压强满足的二阶椭圆型方程混合边值问题和切向速度在任意截面上沿着y轴方向的常微分方程两点边值问题.在第5.2节,由新的分解方式得到的方程与边界条件分别在背景解处作线性化,得到对应的线性化问题.在第5.3节,给出了三类典型问题——沿着x轴方向的变系数输运方程组Cauchy问题,具有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题和任意截面上沿着y轴方向的常分方程两点边值问题解的适定性与正则性定理.在第5.4节,证明具有添质效应的亚音速流的稳定性,完成本文第二个主要结果的证明.第六章包含了本文所用数学工具的细节.在第6.1节,证明了线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性.在第6.2节,给出了x向异性Holder空间的一些性质.在第6.3节,给出了输运方程组在x向异性Holder空间中解的适定性定理的证明.第七章是对后续工作的设想.
陈勋[3]（2021）在《高阶精度WCNS方法及其应用》文中指出流体力学控制方程的高精度高分辨率数值方法已成为计算流体力学（CFD）技术发展中的一个决定性因素。本文结合显式和半隐式（Implicit-Explicit）Runge-Kutta时间推进方法,设计了一系列显式和半隐式高阶精度WCNS格式,并用于求解污染输运、稳态双曲守恒律、刚性偏微分方程等问题。空间离散方法采用高阶精度WCNS格式。为了提高计算效率,对于含刚性项的方程（组）,非刚性项和刚性项分别采用显式和隐式时间离散方法。半隐式高阶精度WCNS格式产生的线性方程组采用基于Krylov子空间的GMRES算法求解。本文设计的显式和半隐式高阶精度WCNS格式用于求解以下几个问题:针对含源项的污染输运模型,为使算法具有保持静水定常解的和谐性（即非零流通量梯度与源项精确平衡）,将该方程组源项进行分裂处理。流通量梯度与源项中的空间导数采用五阶hybrid WCNS格式计算,时间离散采用三阶显式TVD Runge-Kutta方法计算。数值算例结果表明,在静水条件下该算法满足和谐性,在光滑区可获得高精度,在模拟溃坝波等问题时稳定性好、分辨率高和激波捕捉能力强。针对稳态双曲守恒律问题,引入伪时间导数,采用三阶显式TVD Runge-Kutta方法计算,空间离散采用三阶显式WCNS格式计算。为提高计算效率,结合快速扫描方法,设计了快速扫描WCNS格式。快速扫描方法的核心思想是利用交替扫描顺序和Gauss-Seidel型迭代方法求解空间离散化后的非线性方程组。相比于传统的不动点迭代方法,该方法不是从单一方向而是从四个方向推进计算。数值算例结果表明,快速扫描WCNS格式精度高,相比显式TVD Runge-Kutta WCNS格式,可以减少迭代次数,降低CPU时间,同时具有很强的激波捕捉能力。针对粘性Burgers方程,粘性项具有刚性,设计了三阶半隐式WCNS格式,对流项和粘性项分别显式和隐式处理。相比时间步长受限于抛物型CFL稳定性条件的三阶显式TVD Runge-Kutta WCNS格式,三阶半隐式WCNS格式时间步长仅受限于对流型CFL稳定性条件。方程流通量离散采用五阶显式WCNS格式,时间离散采用三阶IMEX Runge-Kutta方法。通过理论分析,给出了半隐式WCNS格式的稳定性条件。数值结果表明三阶半隐式WCNS格式时间精度高,在同等条件下比三阶显式WCNS格式计算效率高,且具有很强激波捕捉能力。针对可压缩Euler方程组,压力项具有刚性,设计了三阶半隐式WCNS格式,对流项和压力项分别显式和隐式处理。三阶半隐式WCNS格式时间步长仅受限于对流型CFL稳定性条件,在低Mach数条件下,比时间步长受限于声波型CFL稳定性条件的三阶显式TVD Runge-Kutta WCNS格式计算效率高。数值结果表明,三阶半隐式WCNS格式时间精度高,激波捕捉能力强。
刘建国[4]（2021）在《非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究》文中提出非线性偏微分方程可以被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题,是现代数学的一个重要分支。本文主要利用Hirota双线性方法、（G’/G）-展开法、变系数齐次平衡法、三波法和符号计算方法研究非线性偏微分方程的精确解以及动力学性质,包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要内容和安排如下:第一章主要介绍了非线性偏微分精确解的一些重要分类,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介绍了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota双线性方法、Bell多项式和Backlund变换。第二章首先介绍了 lump解的求解方法和步骤。随后利用这个方法获得了（3+1）维孤子方程的lump解,分别讨论了 lump解和孤子之间的交互作用以及lump解和周期解之间的交互作用。获得了（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,讨论了 lump解与孤子解之间的交互作用。随后对lump解的求解方法进行了修正,使之适合求解变系数非线性偏微分方程,这个工作尚未在其他文献中讨论。利用修正后的求解方法获得了（3+1）维广义变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并对其动力学性质进行了分析。列出了（2+1）维变系数KP方程的lump解,并讨论了 lump解与单孤子、双孤子之间的交互作用。第三章研究了一个（2+1）维破裂孤子方程,该方程描述了沿y轴传播的Riemann波与长波的（2+1）维相互作用。利用一个特殊的ansatz函数和Hirota双线性形式,获得了（2+1）维破裂孤子方程的一些全新的双周期孤子解,并通过大量的三维图形展示了解的动力学性质。第四章研究 了一个（3+1）维 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,该方程在流体和等离子体动力学有重要的应用。沿x轴传播的长波可以被视为不可压缩流体的模型。基于（G’/G）-展开法和符号计算,得到了（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程丰富的双曲函数和三角函数形式的精确解。通过一些图形显示了特定的局部激发和两个孤立波之间的相互作用。第五章研究了一个（3+1）维广义浅水波方程,该方程在天气模拟、潮汐波、河流和灌溉水流、海啸预报等方面有着广泛的应用。基于扩展的变系数齐次平衡法和两个新的ansatz函数,构造了（3+1）维广义浅水波方程的自Backlund变换、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭结波,周期双孤波和两个孤立波的呼吸类型解。此外还有交叉扭结三孤子和交叉扭结四孤子解并讨论了所得解的传播特性和相互作用。第六章通过三波法研究了新的（3+1）维广义KP方程、（2+1）维Ito方程以及新的（2+1）维Korteweg-de Vries方程的精确解。并在三波法的基础上进行了推广使之能够应用到变系数非线性偏微分方程。以（3+1）维广义变系数浅水波方程为例,获得大量新的精确解。第七章提出了一种改进的符号计算方法。通过使用改进的符号计算方法,获得了广义（2+1）维Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解。这些获得的多怪波解的动力学特征以三维图形和等高线图进行了展示。与原始符号计算方法相比,我们的方法不需要找到非线性系统的Hirota双线性形式。第八章对本文的主要内容和创新工作进行了总结,展望了未来的研究方向。
杨佼朋[5]（2020）在《高次b方程的非线性波解与分支问题研究》文中提出本文运用动力系统分支理论系统地研究了高次b方程的非线性波解与分支问题,分别获得了该方程在b=0、b>1、b<-1三种情形和特定参数条件下的分支相图,行波解的定性行为及其表达式.分析这类方程的主要难点在于方程具有高次非线性对流项,使得研究时需要更多的理论分析和数值计算,如何获得高次情形下方程的非线性波解、分支参数和分支曲线,以及如何处理方程对应行波系统中的奇性也很困难.我们利用适当的行波变换和时间尺度变换将奇异行波系统转化为一个正则系统,通过动力系统分支理论和数值方法来研究了正则系统的向量场及分支相图,再根据所作变换和正则系统的性质可得奇异行波系统的相轨线分支,最后利用相轨线探讨了该方程非线性波解的分支行为及其动力学特征,并给出了这些解的表达式.本文的主要结果如下.1.当b=0时,得到了方程对应奇异行波系统与正则行波系统所确定向量场的关系,通过相图分析发现了一些新的现象,如在特定参数情形下行波系统有无穷多闭轨道穿过奇直线并相交于两点;某些同宿轨内部没有奇点等.通过理论分析,揭示了特定情形下方程存在三种分支现象,包括孤立波与周期波、孤立波与爆破波以及双孤立波的分支.2.当b>1,k=0时,通过数值方法确定了方程所对应行波系统的分支参数以及分支曲线,得到了孤立尖波解与反孤立尖波解的分支波速,以及n为偶数时孤立尖波的最大波速,建立了不同参数条件下方程对应正则行波系统的相图分支,进一步揭示了多种非线性波解之间的关系,推广和改进了前人的某些相关结果.3.利用动力系统分支方法在b=0、b>1、b<-1三种情形下得到了方程多个非线性波解的表达式.当b=0时,给出了孤立波解、周期波解和爆破波存在的参数条件及其表达式;当b>1时,得到了孤立尖波解、反孤立尖波解、光滑孤立波和光滑周期波解的显式表达式或隐式表达式;当b<-1时,给出了周期波解存在存在的参数条件及其隐式表达式.本文主要内容分为五个部分,第一章是绪论,综述了非线性波方程和孤立波的发展历史、研究现状、主要的研究方法及某些结果,并简单介绍了本文所用到的相关理论和方法.第二章至第四章分别研究了高次b方程在b=0、b>1、b<-1三种情形下的非线性波解与分支问题,并揭示了多个非线性波解之间的关系.最后一部分是对本文研究结果进行了总结,并提出了值得进一步探索的问题.
曹丽娜[6]（2020）在《超音速流中飞行器壁板的气动弹性稳定性研究》文中认为壁板是飞行器上很重要的结构单元。处于高速气流中的飞行器壁板,在弹性力、惯性力和暴露在高速气流中一个表面上的气动力相互作用将引发一种自激振动现象,即壁板颤振。非线性壁板的气动弹性颤振常被解释为极限环振动（LCO）。这样的一种结构失稳,通常会导致壁板的疲劳损伤,有时可能会导致灾难性的结构失效。在超音速飞行器结构设计的工程实践中,壁板具有一定的初始曲率,并且高马赫数下飞行器表面的气动加热效应也更明显,所以,对超音速流中受热平壁板和曲壁板的气动弹性稳定问题的研究,可以深刻理解壁板颤振的机理,找到相关设计参数对壁板颤振边界的影响规律,为估计壁板的疲劳寿命提供基础数据,对高速飞行器的壁板设计提供必要的理论依据,同时具有工程实用价值。本文基于von Kármán非线性应变-位移关系和气动力活塞理论,建立了超音速流中受热壁板的气动弹性微分方程。利用Galerkin方法,对超音速流中飞行器的受热平壁板和曲壁板非线性气动弹性稳定性进行了深入研究,分析热气动弹性系统的颤振边界特性以及不同的参数组合对系统颤振临界动压与稳定性的影响。主要研究内容和创新性成果如下:（1）利用Galerkin方法,将超音速流中受热二维平壁板的非线性气动弹性微分方程转化为非线性常微分方程。利用非线性系统在平衡点处的Jacobi矩阵的特征方程的系数构造Hurwitz行列式,依据Hopf分岔代数判据,将寻找非线性气动弹性系统分岔点的问题转化为求解一个实系数代数方程的根的问题。同时,证明了实系数代数方程的纯虚根与各阶Hurwitz行列式的关系,并解析推导了系统发生Hopf分岔和叉式分岔的边界条件,分析了参数平面上各区域内平衡点的个数及相应的稳定性。利用特征值理论和Runge-Kutta方法,数值验证了前述理论分析结果。分析了活塞气动力理论的非线性效应对超音速流中受热平壁板的颤振特性的影响。（2）飞行器的壁板蒙皮都带有一定的曲率。基于von Kármán非线性应变-位移关系,采用具有曲率修正项的一阶活塞理论气动力模型,建立了超音速流中的受热二维曲壁板系统的气动弹性运动方程。在不考虑初始几何曲率引起的静气动热载荷的情况下,利用Hopf分岔代数判据,研究了超音速气流中二维受热曲壁板系统的Hopf分岔,提出了曲壁板系统颤振临界动压及颤振频率的解析表达式,并评估了壁板初始几何曲率和温升对系统颤振临界动压值的影响。（3）针对超音速流中二维曲壁板系统的热气动弹性运动方程中存在的两项与曲壁板初始几何曲率有关、而与时间无关的静态载荷项,设定不同的来流动压、初始几何曲率和温升的参数组合,分别分析静态气动载荷、静态热载荷和静气动热载荷沿着曲壁板气动弦长的分布规律。利用Newton迭代法求解曲壁板静气动弹性变形的定常状态方程组,得到曲壁板静气动弹性变形特性;进一步,研究了静态气动载荷、静态热载荷及它们共同作用对曲壁板静气动弹性变形的影响。分别研究了不同初始几何曲率的曲壁板在静气动载荷和静态热载荷下,系统相应的静气动弹性变形的非线性代数方程组的平衡点的个数及其稳定性,确定了曲壁板静气动弹性变形随参数变化发生Hopf分岔和静态分岔两种失稳现象。（4）考虑到材料的弹性模量和热膨胀系数等参数随着温升而实时发生变化,弹性模量随着温度的升高而减小,热膨胀系数随着温度的升高而增大。假设弹性模量和热膨胀系数均为温升的一次函数,建立了超音速流中考虑弹性模量和热膨胀系数随温度变化的平壁板的气动弹性微分方程。给出了该系统发生静态分岔和Hopf分岔的解析边界条件,以及系统的颤振临界动压,并分析了参数平面上各区域内平衡点的个数及其稳定性。同时,设置弹性模量和热膨胀系数这两参数其中之一为常数作为对照组,与准定常温度场中的颤振临界动压进行比较。其次,针对气动弹性变形对气动热的影响,采用斜激波理论和三阶活塞理论来计算当地气流参数,Eckert参考焓方法和平板气动热公式计算气动热,有限差分法计算瞬态热传导,搭建出气动力-气动热-弹性耦合的超音速流中壁板颤振的理论和框架。由于风洞试验是测试试件气动弹性稳定性的重要手段,为了满足不同的实验要求,爆轰驱动激波风洞以不同的爆轰方式使激波压缩来产生高温高压气流。基于延时双头起爆驱动的方式,提出一种点火起爆的方式,可以降低爆轰产物形成的冲击波的相互干扰与影响。
李小纲[7]（2020）在《流体力学中双曲守恒律方程的高精度差分方法研究》文中提出流体力学中,双曲守恒律方程是极其重要的一类偏微分方程,其解的重要特征是不论初始值和边界值如何光滑,随着时间推进,方程的解有可能会发生间断。因此,求解此类方程是一项非常困难的任务。近年来,双曲守恒律方程解的高精度数值方法得到了快速发展,其中,加权基本不振荡（Weighted Essentially Non-Oscillatory）方法是近二十年来发展的一种有效方法,其最大优点是精度高且容易实现,但传统WENO差分方法在光滑函数极值点附近会降阶,且对强间断问题的分辨率不足,针对这一问题,本文在WENO差分方法的基础上,通过对其局部光滑因子和全局光滑因子进行改进,并结合非线性WENO插值、高阶紧致差分格式,得到几类高精度、高分辨率、低耗散的WENO差分格式。最后,结合浅水方程源项和谐离散方法对溃坝流等水动力学问题进行了数值模拟。论文主要内容和成果有:1.改进的三阶精度WENO差分格式在传统WENO-Z格式基本框架下,将三阶WENO格式光滑因子进行泰勒展开,并引入参数p,构造一个新的、含参数的全局光滑因子,在满足三阶收敛精度的条件下,得到参数p的最佳取值,最终得到一个改进的三阶WENO差分格式（M-WENO3-1）;对三阶WENO差分格式计算模板重新选取,进行加权线性组合,构造新的全局光滑因子,引入可调节的线性权和大模板重构单元边界数值通量的表达式,得到另一个新的三阶WENO差分格式（M-WENO3-2）;最后分别证明了这两类格式的收敛性,数值实验验证了格式的精度、对间断问题的分辨率。2.改进的五阶精度WENO差分格式通过对五阶WENO格式计算模板重新选取,单元边界数值通量计算引入大模板上四次重构多项式和两个小模板上二次重构多项式的加权线性组合,构造新的高阶全局光滑因子,建立相应的非线性权,得到一个新的五阶WENO差分格式（M-WENO5）,并对其收敛性进行了证明,数值实验验证了其精度、对间断问题的分辨率。3.高阶紧致非线性WENO差分格式将2中建立的WENO差分格式的非线性权与WENO插值相结合,利用大模板上四次插值多项式和两个小模板上二次插值多项式可得网格单元半节点处的五阶函数值,然后利用一阶导数的四阶、六阶紧致差分格式求得网格点处的导数值,并结合与内点精度相匹配的边界条件,分别得到了四阶、五阶紧致非线性WENO差分格式,记为MC-WEN04和MC-WENO5,数值实验验证了格式的精度、对间断问题的分辨率。4.WENO差分格式与浅水方程源项和谐离散方法相结合对溃坝流等水力学问题数值模拟利用上述建立的各类高精度WENO差分格式对溃坝问题进行数值模拟。首先对齐次浅水方程的理想溃坝问题进行数值模拟,然后将本文格式与已有的源项和谐离散方法结合,对带有不同底坡源项的溃坝问题及其它扰动问题进行数值计算,结果表明,本文方法的模拟效果比较理想,对激波和扰动的捕捉能力很强。
赵建丽[8]（2020）在《非线性高阶色散方程的高分辨率数值方法》文中提出本文的主要工作是为一系列非线性高阶色散方程构造高分辨率的数值方法,包括Serre方程的守恒间断有限元（DG）方法,μ-Camassa-Holm（μCH）和μ-Degasperis-Procesi（μDP）方程基于加权本质无振荡（WENO）格式的有限体积和有限差分方法,以及针对二组分的μ-Camassa-Holm方程所构造的局部间断有限元（LDG）方法。本文主要由三个部分构成。在第一部分中,我们研究的是具有较大振幅的浅水波模型Serre方程,它包含的高阶时空导数混合色散项,在数值求解时带来了很多困难。从Serre方程等价的守恒律出发我们设计了两种守恒的DG方法;同时利用Serre方程的非守恒形式,我们构造了哈密顿守恒的DG方法,并给出了半离散格式下的稳定性证明。此外,在非平底河床的情形下,通过对Serre方程的源项进行高阶数值逼近,可以证明其中一种DG方法在静水状态下能够保持完全平衡。通过光滑孤立波和周期余弦波的算例,可以看到这些数值格式都是稳定并且可以达到高精度的。具体地说,对于Serre方程中的速度,三种数值格式都可以达到最优收敛阶;对于水深,前两种DG方法可以达到最优收敛阶,但是哈密顿守恒的DG方法对于二阶及以上多项式空间的逼近才能达到最优收敛阶,对于一阶多项式逼近只有次优收敛阶。为了说明数值格式的广泛适用性以及有效性,我们还对于单波碰撞,高斯波峰的分裂,浅水波模型的色散激波等问题进行了数值模拟。最后,利用两个非平底河床的数值算例,我们验证了其中一种DG方法具有完全平衡的性质。在第二部分中,我们考虑的是含有高阶色散项的μCH和μDP方程。这两种方程都支持光滑周期行波解,其中μCH方程具有多尖峰解,而μDP方程则同时满足多尖峰解和多激波解。鉴于WENO格式适于构造任意高阶精度的数值方法并且能够刻画复杂的解结构以及捕捉解特定特征中的不连续性,我们为这两类方程分别设计了两种基于WENO重构的高分辨率数值方法:有限体积和有限差分方法。同时,对于它们的线性差分方法,我们分别从理论上证明了半离散格式的L2稳定性。最后,为了验证WENO有限体积和有限差分方法的高精度和高分辨率,我们根据这两种方程不同类型解的结构设计了不同的数值算例。通过光滑周期行波解的精度测试,可以看到两种数值方法在5阶WENO重构后都可以达到最优收敛阶;通过对μCH方程多尖峰波传播过程的模拟,对μDP方程多尖峰解以及多激波解在不同时刻的逼近,验证了 WENO格式在方程解的极值点和间断点附近有效地抑制了非物理振荡的产生,具有高分辨率的优点。在第三部分中,我们对于二组分μ-Camassa-Holm方程组的数值方法进行了分析和研究。二组分μCH方程组是完全可积系统,拥有无限多个守恒量。我们根据其哈密顿守恒量构造了相应的LDG格式。通过选取不同的数值流通量,我们可以得到哈密顿量守恒及耗散两种不同的LDG格式。随后我们利用投影算子以及误差方程,对这两种LDG格式进行了误差分析,证明了数值格式在理论上具有次优收敛阶。最后,我们利用数值算例对这两种LDG格式的有效性进行了进一步的验证。通过光滑周期行波解的精度测试,可以看到两种数值方法都可以达到最优收敛阶;通过构造的尖峰解传播过程的数值模拟,验证了两种数值方法的准确性。
杜亚洁[9]（2020）在《几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质》文中认为本文主要利用匹配渐近展开法和微分不等式理论研究若干带有奇性的奇摄动问题。本文主要包括三个部分:第一章绪论部分介绍了本文的研究背景、研究目的,并综述了相关的预备知识。第二章研究了方程的次高阶导数前带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题,研究结果表明此类问题具有重边界层现象。并且利用匹配渐近展开法构造出了该方程的形式渐近解,同时,用微分不等式理论证明了渐近解的一致有效性。第三章研究了具有奇性且具有重退化根的一阶非线性初值奇摄动问题。研究结果表明此类问题在边界层处也具有重边界层现象。第四章研究了一类非线性时滞奇摄动边值问题,这类问题的奇性位于区间内部某待定点。研究结果表明此类问题具有激波现象。同时利用匹配渐近展开法构造出了解的形式渐近展开式,并用微分不等式理论证明了形式解的一致有效性。
张云凤[10]（2020）在《等熵相对论欧拉系统的黎曼解的极限问题》文中指出本文重点对状态方程为扩展的Chaplygin气体的三阶形式和二阶形式的等熵相对论欧拉系统以及两种不同扰动的宏观生产模型进行研究.首先研究四个方程的黎曼问题.利用相平面分析方法构造了四个方程所有情况下的黎曼解.接着我们利用压力消失法来研究方程黎曼解的极限.具体为首先考虑状态方程由扩展的Chaplygin气体变为零压气体时,得到了相对论欧拉方程黎曼问题解的渐近极限.接着考虑状态方程由扩展的Chaplygin气体变为Chaplygin气体时得到了相对论欧拉方程黎曼问题解的渐近极限.最后考虑两种不同扰动的宏观生产模型的黎曼解的渐近极限与零压流气体动力学模型黎曼解的关系.文章内容主要安排如下:第一章主要介绍等熵相对论欧拉系统和宏观生产模型的研究背景以及国内外发展现状.第二章给出了与论文研究有关的一些基本概念和相关理论.第三章研究扩展Chaplygin气体等熵相对论欧拉系统的黎曼解.随后,我们将着重讨论当状态方程从扩展的Chaplygin气体变为零压气体时,相对论欧拉方程的黎曼解的极限关系.具体地说,当扩展的Chaplygin气体的等熵相对论欧拉方程黎曼解取极限A1,A2,A3,B→0时,形成了δ-激波解和两个接触间断以及真空状态,这与零压流相对论欧拉方程的黎曼解保持一致.第四章研究扩展Chaplygin气体等熵相对论欧拉系统的黎曼解.随后,我们将着重讨论当状态方程从扩展的Chaplygin气体变为Chaplygin气体时,等熵相对论欧拉方程的黎曼解的极限关系.具体地说,当扩展的Chaplygin气体的等熵相对论欧拉方程黎曼解取极限A1,A2→0时,形成了δ-激波解和两个接触间断,这与Chaplygin气体等熵相对论欧拉方程的黎曼解保持一致.第五章研究两种不同扰动的宏观生产模型黎曼问题的解.我们考虑第一种扰动宏观生产模型极限解.发现随着ε→0,形成δ-激波解和两个接触间断,它不同于零压流气体动力学模型的黎曼解.因为极限情况下的激波与无压气体动力学模型的传播速度和强度不同.然后第二类扰动宏观生产模型的黎曼解取ε→0,形成δ-激波解和两个接触间断,它与零压流气体动力学模型的黎曼解一致.
二、一类三阶微分方程激波解的多层现象（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类三阶微分方程激波解的多层现象（论文提纲范文）
（1）物理信息神经网络与可积方程的局域波（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波 |
| 1.2 深度学习 |
| 1.3 本文选题和主要工作 |
| 第二章 深度神经网络研究基础 |
| 2.1 问题描述 |
| 2.2 激活函数 |
| 2.3 反向传播算法 |
| 2.4 权重初始化 |
| 2.5 一阶优化算法 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 PINN框架及其在Burgers方程孤波解中的应用 |
| 3.1 二阶优化算法 |
| 3.2 自动微分 |
| 3.3 拉丁超立方抽样 |
| 3.4 PINN算法 |
| 3.5 一个简单的动力系统 |
| 3.6 Burgers方程的孤立波解 |
| 3.7 本章小结 |
| 第四章 PINN算法在三阶孤子方程局域波中的应用 |
| 4.1 正弦周期激活函数 |
| 4.2 Kd V方程的多孤子解 |
| 4.3 修正Kd V方程与呼吸子解 |
| 4.4 Kd V-Burgers方程的扭结解 |
| 4.5 STO方程的孤子聚变与裂变 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 改进PINN算法与SG方程的反扭结解 |
| 5.1 Res Net网络简析 |
| 5.2 损失函数 |
| 5.3 SG方程的反扭结解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 自适应PINN算法及DNLS方程的局域波解 |
| 6.1 自适应激活函数 |
| 6.2 DNLS方程的一阶有理孤子解和一阶真有理孤子解 |
| 6.3 DNLS方程的二阶真有理孤子解和二阶怪波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文总结 |
| 7.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表论文, 参与科研和获得荣誉情况 |
（2）二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题来源 |
| 1.2 二维等截面直管中瑞利流的跨音激波稳定性问题及主要结果 |
| 1.2.1 瑞利流的跨音激波稳定性问题 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 二维等截面直管道中带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流稳定性问题及主要结果 |
| 1.3.1 带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流的稳定性问题 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 第二章 符号说明与基础知识 |
| 2.1 符号说明 |
| 2.2 基础知识 |
| 第三章 一维定常特解及其性质 |
| 3.1 热交换问题的一维定常特解 |
| 3.1.1 求解情形(A)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.1.2 求解情形(B)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.2 求解添质问题一维定常亚音速特解的常微分方程组 |
| 3.2.1 亚音速特解 |
| 第四章 热交换对跨音激波稳定性的影响 |
| 4.1 问题(P)的转化 |
| 4.1.1 在Lagrange坐标中的问题(P) |
| 4.1.2 特征分解 |
| 4.1.3 自由边值问题(FB)的线性化 |
| 4.2 具有非局部边界条件的线性椭圆-双曲耦合型方程组 |
| 4.2.1 唯一性和S-条件 |
| 4.2.2 先验估计 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.3.1 迭代集合 |
| 4.3.2 非线性映射τ |
| 4.3.3 τ的压缩性 |
| 第五章 添质对亚音流稳定性的影响 |
| 5.1 分解引理 |
| 5.1.1 添质问题的分解引理 |
| 5.2 压强的方程与边界条件和等价问题Ⅱ |
| 5.2.1 化简压强p的方程和进口处的边界条件 |
| 5.2.2 线性化和等价问题Ⅲ |
| 5.3 典型问题 |
| 5.3.1 典型问题1: 总焓和熵满足的变系数输运方程组的Cauchy问题 |
| 5.3.2 典型问题2: 压强p的带有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题 |
| 5.3.3 典型问题3: 在截面上切向速度v满足的常微分方程两点边值问题 |
| 5.4 迭代格式 |
| 5.4.1 构造迭代映射τ |
| 5.4.2 τ的压缩性 |
| 5.4.3 映射τ在X_(Mε)中存在唯一不动点 |
| 5.4.4 提升切向速度v关于法向的正则性 |
| 第六章 附录 |
| 6.1 线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性 |
| 6.2 x向异性Holder空间 |
| 6.3 定理5.1的证明 |
| 第七章 后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在学期间的科研成果 |
（3）高阶精度WCNS方法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究内容和创新点 |
| 1.4 文章组织结构 |
| 2 高阶精度WCNS格式和时间离散方法 |
| 2.1 WCNS空间离散方法 |
| 2.1.1 隐式WCNS格式 |
| 2.1.2 显式WCNS格式 |
| 2.2 时间离散方法 |
| 2.2.1 显式TVD Runge-Kutta方法 |
| 2.2.2 半隐式IMEX Runge-Kutta方法 |
| 3 污染输运模型的满足和谐性的WCNS格式 |
| 3.1 控制方程 |
| 3.2 和谐性WCNS格式 |
| 3.3 数值算例 |
| 3.3.1 一维算例结果 |
| 3.3.2 二维算例结果 |
| 3.4 小结 |
| 4 稳态双曲守恒律问题的快速扫描WCNS格式 |
| 4.1 控制方程 |
| 4.2 快速扫描WCNS格式 |
| 4.2.1 WCNS格式 |
| 4.2.2 快速扫描方法 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 小结 |
| 5 粘性Burgers方程的半隐式 WCNS格式 |
| 5.1 控制方程 |
| 5.2 半隐式WCNS格式 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 数值算例 |
| 5.4.1 时间精度测试 |
| 5.4.2 数值算例 |
| 5.5 小结 |
| 6 一维Euler方程组的半隐式 WCNS格式 |
| 6.1 控制方程 |
| 6.2 半隐式WCNS格式 |
| 6.3 数值算例 |
| 6.3.1 精度测试 |
| 6.3.2 1D激波管问题 |
| 6.3.3 双峰碰撞声波脉冲 |
| 6.4 小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 本文的工作总结 |
| 7.2 下一步工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
（4）非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几类特殊的精确解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 Bell多项式 |
| 1.2.3 Backlund变换 |
| 1.3 论文的主要内容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)维孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之间的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之间的交互作用 |
| 2.3 (2+1)维非对称NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)维广义变系数KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 动力学行为分析 |
| 2.6 (2+1)维变系数KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和单孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和双孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)维破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期解 |
| 第四章 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 4.1 (3+1)维BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 第五章 浅水波方程的自Backlund变换和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)维广义浅水波方程 |
| 5.2 自Backlund变换 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程与变系数浅水波方程的精确解 |
| 6.1 新(3+1)维广义KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)维Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)维KdV方程的精确解 |
| 6.4 (3+1)维广义变系数浅水波方程精确解及动力学性质 |
| 6.4.1 精确解 |
| 6.4.2 动力学行为分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 针对常系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 针对变系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（5）高次b方程的非线性波解与分支问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子的发现及其研究现状 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.3 辅助知识 |
| 1.3.1 平面系统定性理论 |
| 1.3.2 动力系统分支方法 |
| 1.3.3 双曲函数与椭圆函数 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 当b=0时,高次b方程孤立波解与周期波解 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.1.1 n=2v时孤立波解与周期波解 |
| 2.1.2 n＝2v+1时孤立波解与周期波解 |
| 2.2 命题2.1-2.4的证明 |
| 2.2.1 预备工作 |
| 2.2.2 孤立波和周期波的存在性及其表达式 |
| 2.2.3 性质A、B、C的证明 |
| 2.3 命题2.5-2.7的证明 |
| 2.3.1 预备工作 |
| 2.3.2 孤立波和周期波的存在性及其隐式解 |
| 2.4 本章小结 |
| 1时,高次b方程行波解及其分支研究'>第三章 当b>1时,高次b方程行波解及其分支研究 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 主要结论的证明 |
| 3.2.1 行波系统与首次积分 |
| 3.2.2 奇点与分支曲线 |
| 3.2.3 分支相图 |
| 3.2.4 行波解的表达式 |
| 3.3 本章小结 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 主要结论的证明 |
| 4.2.1 预备工作 |
| 4.2.2 周期波解及其表达式 |
| 4.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（6）超音速流中飞行器壁板的气动弹性稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究意义 |
| 1.2 壁板气动弹性问题概述 |
| 1.2.1 气动弹性力学简述 |
| 1.2.2 气动热弹性问题简述 |
| 1.2.3 壁板气动弹性问题的研究现状 |
| 1.3 壁板分岔与混沌问题的研究现状 |
| 1.4 本文的研究内容 |
| 第2章 超音速流中受热平壁板的稳定性研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 平壁板气动弹性模型 |
| 2.2.1 平壁板气动弹性运动方程 |
| 2.2.2 非定常气动载荷 |
| 2.2.3 微分方程无量纲化 |
| 2.3 分岔理论 |
| 2.3.1 静态分岔 |
| 2.3.2 动态Hopf分岔 |
| 2.3.3 Hopf分岔代数判据 |
| 2.4 超音速流中受热壁板的稳定性分析 |
| 2.4.1 系统发生Hopf分岔的边界曲线 |
| 2.4.2 系统发生静态分岔的边界曲线 |
| 2.4.3 平衡点个数及稳定性分析 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.5.1 壁板系统颤振临界动压解析表达式验证 |
| 2.5.2 各区域平衡点个数及稳定性验证 |
| 2.6 考虑气动载荷非线性的壁板稳定性分析 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 超音速流中受热曲壁板Hopf分岔研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 超音速流中受热曲壁板的气动弹性模型 |
| 3.2.1 受热曲壁板气动弹性运动方程 |
| 3.2.2 微分方程无量纲化 |
| 3.2.3 微分方程Galerkin离散 |
| 3.3 超音速流中受热曲壁板的Hopf分岔 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 曲率对颤振临界动压的影响 |
| 3.4.2 温升对颤振临界动压的影响 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 超音速流中受热曲壁板的稳定性分析 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 受热曲壁板的静态载荷 |
| 4.2.1 静气动载荷 |
| 4.2.2 静态热载荷 |
| 4.2.3 静气动热载荷 |
| 4.3 受热曲壁板的静气动弹性变形 |
| 4.3.1 解非线性方程组的Newton法 |
| 4.3.2 曲壁板静气动变形 |
| 4.3.3 曲壁板静态热变形 |
| 4.3.4 曲壁板静气动热弹性变形 |
| 4.4 静气动弹性稳定性分析 |
| 4.4.1 静气动载荷下的平衡点个数及稳定性 |
| 4.4.2 静态热载荷下的平衡点个数及稳定性 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 超音速流中壁板热气弹耦合的稳定性分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 材料属性受热改变时壁板的稳定性分析 |
| 5.2.1 壁板运动微分方程及离散化 |
| 5.2.2 平衡点及稳定性分析 |
| 5.3 超音速流中壁板的热气弹运动方程 |
| 5.4 超音速气动力分析方法 |
| 5.4.1 壁板前缘气流参数计算 |
| 5.4.2 当地气流参数计算 |
| 5.4.3 气动热计算 |
| 5.4.4 热传导计算 |
| 5.5 数值计算原理 |
| 5.5.1 热传导求解 |
| 5.5.2 气动弹性求解 |
| 5.6 爆轰激波风洞及点火方式 |
| 5.6.1 爆轰驱动激波风洞驱动方式 |
| 5.6.2 一种新型延时起爆方式 |
| 5.7 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（7）流体力学中双曲守恒律方程的高精度差分方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究动态 |
| 1.2.1 流体力学数值计算方法的发展 |
| 1.2.2 高精度、高分辨率计算格式的研究现状 |
| 1.2.3 浅水方程组高精度格式研究现状 |
| 1.3 本文研究内容与技术路线 |
| 1.3.1 本文主要工作 |
| 1.3.2 技术路线 |
| 2 双曲守恒律方程及WENO差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 双曲守恒律方程基础理论 |
| 2.2.1 双曲守恒律方程的基本概念 |
| 2.2.2 双曲守恒律方程的数学模型 |
| 2.2.3 守恒型差分格式 |
| 2.3 三阶WENO差分格式 |
| 2.3.1 差分格式的建立 |
| 2.3.2 光滑因子 |
| 2.3.3 收敛性分析 |
| 2.3.4 其它三阶WENO差分格式 |
| 2.4 五阶WENO差分格式 |
| 2.4.1 差分格式的建立 |
| 2.4.2 光滑因子 |
| 2.4.3 收敛性分析 |
| 2.4.4 其它五阶WENO格式 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 改进的三阶WENO差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 改进的三阶WENO差分格式一 |
| 3.2.1 差分格式的建立 |
| 3.2.2 收敛性分析 |
| 3.2.3 数值实验 |
| 3.2.3.1 一维对流方程 |
| 3.2.3.2 一维无粘Burgers方程 |
| 3.2.3.3 一维欧拉方程组 |
| 3.2.3.4 二维欧拉方程组 |
| 3.3 改进的三阶WENO差分格式二 |
| 3.3.1 差分格式的建立 |
| 3.3.2 收敛性分析 |
| 3.3.3 数值实验 |
| 3.3.3.1 一维线性对流方程 |
| 3.3.3.2 一维无粘Burgers方程 |
| 3.3.3.3 一维欧拉方程组 |
| 3.3.3.4 二维欧拉方程组 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 改进的五阶WENO差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 差分格式的建立 |
| 4.3 收敛性分析 |
| 4.4 数值试验 |
| 4.4.1 一维线性对流方程 |
| 4.4.2 一维无粘Burgers方程 |
| 4.4.3 一维欧拉方程组 |
| 4.4.4 二维欧拉方程组 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 加权紧致非线性差分格式 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 加权紧致非线性差分格式的简介 |
| 5.2.1 紧致差分格式 |
| 5.2.2 加权插值方法 |
| 5.3 改进的加权紧致非线性差分格式 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 一维线性对流方程 |
| 5.4.2 一维无粘Burgers方程 |
| 5.4.3 一维欧拉方程组 |
| 5.4.4 二维欧拉方程组 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 高精度WENO差分格式在浅水计算中的应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 基于齐次浅水方程组的理想溃坝数值模拟 |
| 6.2.1 一维溃坝问题 |
| 6.2.2 二维溃坝问题 |
| 6.3 带几何源项浅水方程组的溃坝模拟 |
| 6.3.1 底坡源项的和谐离散方法 |
| 6.3.2 光滑凸起河床上的溃坝模拟 |
| 6.3.3 阶梯形河床上的溃坝模拟 |
| 6.3.4 矩形凸起河床上的溃坝模拟 |
| 6.4 其它计算水动力学问题的数值模拟 |
| 6.4.1 混合流问题模拟 |
| 6.4.2 光滑凸起河床上小扰动波传播模拟 |
| 6.4.3 二维凸起河床上小扰动波传播模拟 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 总结与结论 |
| 7.2 论文创新点 |
| 7.3 后续研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间主要研究成果 |
（8）非线性高阶色散方程的高分辨率数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 高分辨率数值方法回顾 |
| 1.1.1 间断有限元方法 |
| 1.1.2 加权本质无振荡方法 |
| 1.2 本文所研究方程的背景介绍 |
| 1.3 本文结构安排 |
| 第2章 间断有限元方法和WENO格式 |
| 2.1 间断有限元方法 |
| 2.2 加权本质无振荡方法 |
| 2.2.1 WENO有限体积方法 |
| 2.2.2 WENO有限差分方法 |
| 2.3 时间离散方法 |
| 第3章 一维非线性Serre方程的间断有限元方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Serre方程的介绍 |
| 3.2.1 符号说明 |
| 3.2.2 Serre方程的推导以及守恒量 |
| 3.3 守恒形式Serre方程的DG格式 |
| 3.3.1 E_1守恒的DG格式 |
| 3.3.2 E_2守恒的DG格式 |
| 3.4 非守恒形式Serre方程的DG格式 |
| 3.4.1 H守恒的DG格式 |
| 3.4.2 H守恒格式的稳定性 |
| 3.4.3 H守恒格式的算法流程 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.5.1 平底河床的数值算例 |
| 3.5.2 非平底河床的数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 笫4章 μ-Camassa-Holm和μ-Degasperis-Procesi方程的加权本质无振荡格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 WENO有限体积方法 |
| 4.2.1 μCH方程的有限体积方法 |
| 4.2.2 μDP方程的有限体积方法 |
| 4.3 WENO有限差分方法 |
| 4.3.1 μCH方程的有限差分方法 |
| 4.3.2 μDP方程的有限差分方法 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.4.1 μCH方程的数值试验结果 |
| 4.4.2 μDP方程的数值试验结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 二组分μ-Camassa-Holm方程组的局部间断有限元方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 局部间断有限元方法 |
| 5.2.1 LDG格式 |
| 5.2.2 算法流程 |
| 5.3 稳定性分析 |
| 5.4 误差估计 |
| 5.4.1 符号和辅助工具 |
| 5.4.2 误差估计 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 总结和展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（9）几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与进展 |
| 1.2 研究目的 |
| 1.3 预备知识 |
| 第二章 带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题 |
| 2.1 形式渐近解的构造 |
| 2.2 形式渐近解的一致有效性 |
| 2.3 实例仿真 |
| 第三章 具有奇性的一阶非线性奇摄动问题 |
| 3.1 形式渐近解的构造 |
| 第四章 一类非线性时滞奇摄动边值问题的激波解 |
| 4.1 形式渐近解的构造 |
| 4.2 形式渐近解的一致有效性 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表成果 |
| 致谢 |
（10）等熵相对论欧拉系统的黎曼解的极限问题（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 概论 |
| 1.2 主要研究内容 |
| 第2章 预备知识 |
| 第3章 一类扩展的Chaplygin气体等熵相对论欧拉系统 |
| 3.1 黎曼问题 |
| 3.1.1 状态方程满足(1.2)的系统(1.1)的黎曼问题 |
| 3.1.2 零压流相对论欧拉系统(1.5)的黎曼问题 |
| 3.2 δ-激波的形成 |
| 3.3 真空状态的形成 |
| 第4章 另一类扩展的Chaplygin气体等熵相对论欧拉系统 |
| 4.1 两个等熵相对论欧拉方程的黎曼问题 |
| 4.1.1 状态方程满足(1.6)的系统(1.1)的黎曼问题 |
| 4.1.2 Chaplygin气体相对论欧拉系统(1.7)的黎曼问题 |
| 4.2 δ-激波解的形成 |
| 4.3 两个接触间断解的形成 |
| 第5章 两类扰动宏观生产模型 |
| 5.1 扰动系统(1.8)的黎曼解的极限ε→0行为 |
| 5.1.1 扰动系统(1.8)的黎曼问题 |
| 5.1.2 (1.8)的黎曼解的极限行为 |
| 5.2 系统(1.11)的黎曼解的极限行为 |
| 5.2.1 系统(1.11)的黎曼问题 |
| 5.2.2 δ-激波的形成 |
| 5.2.3 真空状态的形成 |
| 5.3 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
四、一类三阶微分方程激波解的多层现象（论文参考文献）
- [1]物理信息神经网络与可积方程的局域波[D]. 李军. 华东师范大学, 2021
- [2]二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析[D]. 高俊磊. 华东师范大学, 2021(08)
- [3]高阶精度WCNS方法及其应用[D]. 陈勋. 西南科技大学, 2021(08)
- [4]非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究[D]. 刘建国. 北京邮电大学, 2021(01)
- [5]高次b方程的非线性波解与分支问题研究[D]. 杨佼朋. 华南理工大学, 2020(05)
- [6]超音速流中飞行器壁板的气动弹性稳定性研究[D]. 曹丽娜. 吉林大学, 2020(01)
- [7]流体力学中双曲守恒律方程的高精度差分方法研究[D]. 李小纲. 西安理工大学, 2020(01)
- [8]非线性高阶色散方程的高分辨率数值方法[D]. 赵建丽. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [9]几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质[D]. 杜亚洁. 安徽工业大学, 2020(06)
- [10]等熵相对论欧拉系统的黎曼解的极限问题[D]. 张云凤. 鲁东大学, 2020(01)