一、函数在任意区间上的三角级数（论文文献综述）
赵保强[1]（2021）在《基于Coq的数学分析中级数理论的形式化》文中认为随着计算机技术的发展,数学机械化受到了越来越多的关注,形式化数学是数学机械化领域的一个重要分支,即通过形式化的方式描述数学中的定义、定理等内容,并完成相应的证明,使得定理的证明能够方便地利用计算机来验证。相比于传统的人工证明,形式化证明有着高可信性的特点。近年来随着Coq,Isabelle等证明辅助工具的出现,形式化数学的研究也取得了长足的进展,并且国内外的相关学者也已经启动了许多形式化证明的工程,使得相关成果进一步丰富。基础理论的形式化对形式化数学的研究尤为重要。级数理论是数学分析中的重要内容,也是其他数学理论的基础,并且对物理、天文等学科的发展起到了重要作用。本文借助于交互式定理证明工具Coq实现级数理论的形式化证明,主要工作内容如下:（1）给出集合、函数、数列等相关概念的形式化描述。并完成极限唯一性、单调有界定理、Cauchy收敛准则、幂函数等相关定理的形式化证明,为级数理论的证明作铺垫。（2）通过数列表示出数项级数,并完成数项级数的Cauchy准则、等比级数、正项级数判别法、Leibniz判别法、绝对收敛级数等相关定理的形式化证明。（3）通过函数列表示出函数项级数,给出函数列以及函数项级数一致收敛的形式化定义,并完成一致收敛的判别以及性质、Cauchy准则等相关定理的形式化证明。最后完成幂级数相关的Abel定理、和函数连续性、Taylor公式、幂级数展开等的形式化。本文的所有代码均已在Coq中验证通过,证明过程充分体现了Coq的规范、严谨、可靠的特点。
沈中宇[2]（2021）在《面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例》文中认为百年大计,教育为本。教育大计,教师为本。教师培养的关键是教师教育,要改善教师教育的效果,教师教育者的作用无疑是至关重要的,因此,数学教师教育者在数学教师教育中发挥着重要的作用。近年来,数学教育研究者开始关注数学教师教育者的研究,其中,“面向教师教育的数学知识”（Mathematical Knowledge for Teaching Teachers,简称MKTT）理论为研究一般数学教师教育者所需要的数学知识提供了借鉴。但已有的研究中对于“面向教师教育的数学知识”仍然缺乏清晰准确的刻画,同时,相关研究主要集中在理论构建,相关的实证研究较少。基于以上原因,本文以面向教师教育的数学知识为研究主题,选取高中数学教研员作为研究对象,主要探讨以下三个研究问题:（1）构成面向教师教育的数学知识的要素有哪些?（2）高中数学教研员具备哪些面向教师教育的数学知识?（3）在数学教研活动中,高中数学教研员反映出哪些面向教师教育的数学知识?针对本研究的三个研究问题,将研究设计分为三个阶段,分别为文献分析与框架确立、问卷调查与深度访谈以及现场观察与案例分析。文献分析与框架确立阶段采用了专家论证法。首先通过文献分析梳理已有的数学教师教育者专业知识框架,接着通过对相关的成分和子类别的反复比较,构建初始的面向教师教育的数学知识框架,最后通过三轮专家论证得到最终的面向教师教育的数学知识框架。问卷调查与深度访谈阶段采用了问卷调查法和深度访谈法。其中选取了高中数学中重要的数学主题编制了调查问卷和访谈提纲,通过编码分析高中数学教研员的问卷回答和访谈实录,从而了解高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识。现场观察与案例分析采用了案例研究法。其中观察了不同的高中数学教研员的多次教研活动,在观察过程中对教研活动进行录音并在观测后对高中数学教研员进行访谈,对录音和访谈材料进行编码和统计,从而剖析高中数学教研员在教研活动中反映的面向教师教育的数学知识。本研究的基本结论是:1.构成面向教师教育的数学知识的要素包括4个成分与12个子类别。构成成分为学科内容知识、教学内容知识、高观点下的数学知识和数学哲学知识。学科内容知识包含的子类别为一般内容知识、专门内容知识和关联内容知识,教学内容知识包含的子类别为内容与学生知识、内容与教学知识和内容与课程知识,高观点下的数学知识包含的子类别为学科高等知识、学科结构知识和学科应用知识,数学哲学知识包含的子类别为本体论知识、认识论知识和方法论知识。2.高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识情况如下。（1）高中数学教研员在学科内容知识、教学内容知识、高观点下的数学知识和数学哲学知识4个成分中并不存在明显的短板;（2）高中数学教研员对不同知识成分的掌握存在一定差异,其中,在学科内容知识和教学内容知识2个方面掌握较好,而在高观点下的数学知识和数学哲学知识2个方面还有所欠缺;（3）高中数学教研员在各个知识成分中有以下具体理解:在学科内容知识方面,对于基本的概念、定理和公式的合理性以及不同概念、定理和公式之间的联系较为熟悉;在教学内容知识方面,对于学生有关特定数学内容学习的困难,不同数学内容的教授方式和相关数学内容在教科书中的编排理解较深;在高观点下的数学知识方面,能够对中学数学知识作出一定程度的推广、涉猎不同学科中数学知识的应用;在数学哲学知识方面,能够大致解释数学定义的基本作用和标准、数学研究的动力、数学证明的作用和价值以及数学的基本思想方法。（4）高中数学教研员在各个知识成分中有以下欠缺之处:在学科内容知识方面,对于定义的多元性、解释的多样性和联系的普遍性方面还有进步的空间;在教学内容知识方面,对于学生数学学习困难的细致理解、不同数学内容的深入教授和教学内容编排意图的全面考虑还有提升的余地;在高观点下的数学知识方面,从高观点理解中学数学知识、分析不同知识的联系和在不同学科中应用数学知识方面还有较多需要完善的地方;在数学哲学知识方面,还不能形成系统的理解。3.在数学教研活动中,高中数学教研员反映出的面向教师教育的数学知识情况如下。（1）高中数学教研员反映的面向教师教育的数学知识大部分属于教学内容知识和学科内容知识,小部分属于数学哲学知识和高观点下的数学知识。（2）高中数学教研员在数学教研活动中的主要知识来源为一般内容知识、内容与教学知识、学科高等知识和方法论知识。（3）高中数学教研员在数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识主要有:在学科内容知识方面有数学中的基本概念、定理、公式和性质及其由来、表征、证明及解释;不同数学概念、定理、公式之间的联系。在教学内容知识方面有学生对特定数学内容理解存在的困难;不同数学内容的引入、辨析、应用和小结的教学方法;特定数学内容在课程标准中的要求和在教科书中的编排。在高观点下的数学知识方面有中学数学课程中的数学概念在高等数学中的推广;高观点下不同数学概念之间的联系;数学知识在现代科学和实际生活中的应用。在数学哲学知识方面有对数学定义的认识;对数学认识过程的理解;推理论证在数学中的作用;数学研究的思想方法。本研究对于教师教育者专业标准的制订、数学教师教育者专业培训的设计和数学教师专业发展项目的规划有一定启示,后续可以在数学教师教育者的专业知识、数学教师教育者的专业发展和数学教师教育者的工作实践等方面进一步开展研究。
林馨[3]（2021）在《L-函数与指数和的加权均值问题研究》文中提出L-函数与指数和是解析数论中的两个密切相关的重要研究对象,后者常出现于前者的函数方程中.对于L-函数与指数和的均值估计问题在算术几何、密码学、编码理论等领域中都有广泛应用.L-函数及指数和与递推序列联系紧密,许多L-函数与指数和的相关形式满足递推关系.本文主要研究Riemann zeta-函数,Dirichlet L-函数,Gauss和的推广形式等L-函数与指数和的均值及估计问题.此外,本文还研究了两个递推序列的递推性质.本文的主要成果概述如下.1.得到了Riemann zeta-函数以及与其相关的Mathieu级数的余项的上下界估计,及其倒数的取整值的计算公式.这反映了Riemann zeta-函数与Mathieu级数的余项分布与收敛速度,及其估计式的估计精度.此外,这一结果给出了Mathieu猜想的新的初等证明,且在一定限制条件下优化了Alzer,Brenner,Ruehr,Mortici等人的相应结果.2.解决了Dirichlet L-函数在正整数点上的一类平方均值的计算问题,从而统一并推广了Paley,Selberg,Ankeny,Chowla,Walum,Slavutskii,Louboutin,Alkan,张文鹏等人在这方面的工作.与前人的结果相比,本文工作将变量n推广到任意正整数.此外,本文工作的数值结果可以借助数学软件直接计算得出.这一结果的推论得到了一些与三角函数有关的恒等式.3.研究了两类Gauss和的推广形式的均值问题.具体来说,得到了一类广义二项指数和的四次均值的精确计算式,将前人研究中的模数从奇素数推广到正整数;研究了Gauss和与广义Kloosterman和的混合均值,分别给出了模数满足不同同余条件时,混合均值的计算式与渐近估计式,建立了Gauss和与广义Kloosterman和之间的互补关系.4.研究了Narayana序列的负下标形式与卷积形式的递推性质,以及Fubini多项式的卷积形式的递推性质.前者解决了蔡天新教授提出的一个公开问题,建立了Narayana序列正负下标之间的联系,后者证明了一个关于Fubini多项式的猜想,其推论给出了Fubini数与Euler数的同余性质.
朱广豫[4]（2020）在《复杂电磁问题分治算法研究》文中指出现如今,电磁仿真已经成为了基础性的科研工具,成为了理论与实践的桥梁。快速精确便捷的求解复杂电磁问题,在科学与工程的各个领域都有着极其广泛的应用。然而,随着科技的飞速发展,电磁问题日益复杂,规模日益增大,现有的电磁计算方法仍然不足以满足科学与工程领域不断增长的需求。电大尺寸、复杂几何结构、复杂材料特性、复杂电磁环境,电磁问题的求解方式亟待发展新生力量,从而更好的应对这些更具挑战性的问题。本课题直面上述挑战,着眼于复杂电大尺寸多尺度电磁问题,重点开展相关分治算法的研究。本文以众多实际应用为大背景,重点着眼于其共性的基础性的层面,发展相应的分治算法。本文力求探究“波动物理”与“分治思想”之间的潜在联系,针对复杂电磁问题的分治算法,在深度和广度方面进行改进与提升,包括:面向复杂目标的计算复杂度、面向电大尺寸的数值稳定性、面向多尺度问题的计算效率、面向实际问题的算法易用性等等。本文的主要贡献概括如下:1.提出了一种面向复杂目标的多向多层快速复空间多极子算法（MDML-FCSMA）。总体上,该算法融合了多层快速多极子算法（MLFMA）和多层矩阵分解算法（MLMDA）的基本思想,将高频射线的物理特性以一种系统的完善的方式真正融入到了MLFMA的算法体系之中。具体的,本文算法对MLFMA的各个关键模块进行了不同程度的泛化。首先,以蕴含蝶形特征的方向性多层结构为框架,以高斯波束转移算子的复坐标延伸为纽带,建立了空域和谱域、电磁量与几何量之间的特定关系,揭示了转移不变量特性。然后,通过将球面插值点与积分点相分离,整个算法采用局部坐标系下球冠区域上的数值积分和全局坐标系下单位球面上的局部插值。最后,获得了“转移驱动型”的算法建立步骤和“方向图局部化”的算法执行步骤。理论分析和数值实验表明,不同于MLFMA,针对一维线状、二维平面、三维实体类型的电大尺寸目标,本文算法均具有稳定的准线性的计算复杂度;同时,本文算法具有良好的误差可控性。2.提出了一种面向电大尺寸的数值稳定的多向多层快速非均匀平面波算法（MDML-FIPWA）。从算法的效果上来看,先前版本的多层快速非均匀平面波算法（ML-FIPWA）在计算电大尺寸目标时会出现不可避免的数值溢出问题,整个算法是数值不稳定的;相比之下,本文提出的方法具有十分良好的数值稳定性,能够十分有效的求解电大尺寸问题。从问题的本质上来看,通过深入分析格林函数展开式的各个组成部分在不同多层结构及其远场条件下的幅度特性,归纳出了对数值稳定性起决定性作用的关键指数因子,阐明了先前的ML-FIPWA出现数值不稳定的根本原因,同时揭示了本文提出的MDML-FIPWA能够维持数值稳定的关键所在。此外,不同于先前的ML-FIPWA,本文提出的方法在应对不同类型几何特征的目标时均具有稳定的准线性的计算复杂度。3.提出了一种基于完全匹配层的多向多层快速同伦多极子算法（MDMLMP-PMLHA）。整个算法以带有完全匹配层（PML）填充的矩形波导为切入点,利用模式表示与射线表示之间的等价转化关系,并借助于方向图函数的插值与外推,最终建立起了“蝶形多极子”类型的快速算法。整个算法的建立不依赖于任何数值积分离散,仅涉及到基本的级数截断与交换求和次序。理论分析和数值实验表明,针对复杂电大尺寸目标,该算法具有稳定的计算复杂度和良好的误差可控性。此外,通过揭示算法中内蕴的模式同伦特性,本文给出了认识多极子类型算法的一种独到的视角。同时,该算法还建立了微波工程领域众多经典模型和经典概念之间一个巧妙而具体的联系。4.提出了一种基于预拆分格林函数的电磁多尺度问题高效分析方法（MS-PSG-FFT-ACA）。具体的,借助于预拆分格林函数的框架,构建了一种同时利用快速傅里叶变换（FFT）和自适应交叉近似（ACA）的混合快速算法。在分析电磁多尺度问题时,相比于此前仅使用FFT进行加速的方法,本文的方法能够在不损失计算效率的前提下维持较低的内存消耗。此外,不同于此前以数值预校正为框架的混合算法构建方案,本文的方法由于受益于解析层面的预拆分,因而可以分别独立的构建辅助笛卡尔网格和八叉树空间分组,相应的,整个算法的建立步骤更加的简单和直接。5.提出了一种复杂电大问题的积分方程黑盒重叠型区域分解方法（IE-ODDM-BB）。具体的,基于“元素与并集”的思想,设计了一种盲几何的区域分解建立方案;同时,引入了一种序列加速收敛方法,极大的提升了算法迭代求解阶段的鲁棒性。不同于先前版本的积分方程重叠型区域分解方法（IE-ODDM）,本文的方法只需要用于常规矩量法（Mo M）的不含任何分区信息的基本网格（Mesh）,整个算法的建立不依赖于目标的几何建模（CAD）步骤。相应的,本文的区域分解方法可以非常直接的加入现有的电磁仿真软件平台之中。此外,对于普通用户而言,本文的区域分解方法可以在无需用户干预的情况下自动的执行划分与求解。数值实验表明,本文的IE-ODDM-BB-MLFMA能够以显着低于CG-MLFMA（不分区）的内存需求计算典型的复杂电大尺寸电磁散射问题。6.提出了一种基于卡尔德隆预条件组合场积分方程的重叠型区域分解方法（CP-CFIE-ODDM）。先前的积分方程重叠型区域分解（IE-ODDM）系列方法均是基于电磁积分算子“线性组合”的方程而构建;相比之下,本文的方法首次尝试将IE-ODDM方法基于电磁积分算子“非线性组合”的方程而构建。在应对电磁多尺度问题等具有稠密网格的情形时,采用之前的基于组合场积分方程的重叠型区域分解方法（CFIE-ODDM）,其子区内迭代会遭遇潜在的慢收敛问题;相比之下,本文的方法能够始终维持十分稳定的内迭代收敛性,整体上具备更好的鲁棒性。7.提出了一种基于纽曼级数和骨架分解的积分逆算子稀疏表示（SR-IIO-NS-SF）。首先,借助于基函数空间分组,进行矩量法（Mo M）阻抗矩阵分裂。然后,基于近场矩阵的准静态特性和固有的稀疏性,构建了不含远场等效面的层级骨架分解,获得了近场逆矩阵的稀疏分解表示形式。最后,以纽曼级数为大框架,联合近场逆矩阵和原始远场矩阵,并同时利用二者的稀疏表示,将整个积分逆算子离散表示为了一系列稀疏矩阵的“加”与“乘”的组合形式。整个稀疏表示独立于入射右端项,具有直接解法的特征。数值实践表明,相比于共轭梯度法（CG）等典型的子空间迭代法,本文算法的求解过程具有更高的计算效率;同时,对于多尺度情形,本文算法具有更强的鲁棒性。本文的算法为电磁领域高频直接解法的进一步研究提供了一种新颖的切入角度。
何一璇[5]（2020）在《几类特殊函数的Prony方法逼近研究》文中研究表明Prony方法作为一种线谱估计方法,被广泛应用于各种逆问题中,例如电力系统的响应信号分析、天线阵列稀布优化、超声信号分析等。本文探究了Prony方法在数值逼近领域的应用,首次使用Prony指数逼近以及Prony-like三角级数逼近对指数积分、余弦积分、正弦积分和sinc函数进行研究。同时针对整数阶第一类贝塞尔函数在Prony-like逼近过程中计算复杂的问题进行优化。研究内容如下:1.描述了基于广义特征值问题的指数形式Prony方法以及两种三角函数形式的Prony-like方法。2.通过分析指数积分、余弦积分、正弦积分和sinc函数的性质,首次应用Prony方法对这几类特殊函数进行数值逼近。将Prony方法的逼近结果与常用的数值逼近方法如:幂级数展开、渐近级数展开、连分式展开等方法进行比较。在Maple中的数值实验结果表明,Prony方法具有更好的逼近精度,且在整个区间内都能维持稳定的逼近效果。3.对整数阶第一类贝塞尔函数的Prony-like逼近过程进行优化,在提高计算速度的同时保证逼近精度。一方面使用切比雪夫节点替换优化参数?i的求解过程,避免了计算广义特征值问题,降低计算复杂性,提高逼近效率。另一方面,使用间隔采样法对超定线性方程组求解参数αi的过程进行优化,在提高逼近效率的同时还能保证赋值准确性。
颜冬梅[6]（2020）在《高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以高中函数为例》文中提出近年来,高等数学视角下的中学数学的研究受到人们广泛的重视,致力于此研究的学者取得了许多的成果,但是针对某一节的具体内容进行探讨的文章还较少.本文以函数内容为例,探讨在中学数学教学中如何将高等数学的方法、思想渗透到教学过程中.函数是贯穿于整个中学数学的一条主线,并且是高考重点考察的内容,以高等数学为背景的高考题在高考数学试卷中层出不穷,不少同学对于这部分内容的学习感到困惑,这也就需要中学教师从较高的角度来审视中学数学.本文从高等数学的视角对高中数学函数的教学进行了研究.首先,论述了研究背景、研究意义、研究方法以及国内外的研究现状,并阐述了函数的发展史及研究高等数学视角下的中学数学教学的必要性.其次,从函数在数学课程标准中的要求、函数内容在中学的呈现、函数内容在大学的呈现、大学中的函数内容在中学的渗透几方面研究了高等数学视角下的高中函数教学,并对近几年函数内容在高考题中的呈现进行了研究.最后结合问卷调查的结果,在高等数学的思想背景下设计了一篇教学设计,并提出了相应的教学建议,希望对中学数学教师的教学提供一定的帮助.
李妍[7]（2020）在《初高等数学衔接问题研究 ——以三角、反三角函数为例》文中指出高中教育重在面向全体学生,属于义务教育的延续,同时也担负着为高等院校输送和选拔人才的任务。而大学则重在为社会主义事业培养建设者和接班人,确保学生在进入社会之前能够掌握基本的专业知识以及专业能力。虽然从教学目标、内容、理念、方式以及受教育者的思维水平等方面来看,二者都有着极大的区别,但是从系统论的角度来看,教育本身是一个完整的系统,它由不同的子系统串联、相互衔接、彼此作用而成。鉴于高中和大学教师教学方式与学生学习方式的极大转变,很容易导致学生由高中步入大学时产生断层现象。因此,初高等教育间的衔接问题就变得日益突出。由于三角函数的相关知识不仅仅是基本初等函数中的一种,更是沟通着初等数学与高等数学的通道之一。而作为与三角函数互为反函数的反三角函数,它不仅对于三角函数知识的理解有着重要的作用,还可以用来培养学生的逻辑推理能力以及严谨的数学思维。因此,本文以三角函数与反三角函数为抓手,研究初高等数学间的衔接问题,希望能为我国教育事业的有机整合做出贡献。首先,明确本研究课题的研究背景和意义。据此对相关文献进行整理分析,了解三角函数与反三角函数的研究现状,分析在初等数学阶段三角及反三角函数的教学内容及重点。同时,总结国内外关于教育衔接问题的研究情况。其次,以“提出问题——分析问题——解决问题”为主线逐步展开论文主体内容。其中,“提出问题”这一部分主要是三角和反三角函数的教学及应用现状分析。在初等数学中,以数学课程标准和高考试题为入手点,分析三角及反三角函数的教学现状,同时以华东师范大学数学系编写的第四版《数学分析》一书为参考,分析三角及反三角函数在高等数学中的应用,借此分析初高等数学间三角及反三角函数存在的衔接问题。“分析问题”这部分则主要是依据上述现状分析,总结三角及反三角函数存在的衔接问题,从初等数学与高等数学两个维度,深入挖掘衔接问题形成的原因。在“解决问题”这部分,则是根据所提出的问题和形成原因,针对不同的主体提出相应的衔接建议,并给出部分教学片断和两个具体衔接内容的案例设计。最后,是本研究课题所得成果的推广。结合衔接建议中“注重提升学生的学科核心素养”,将本文的研究成果平行推广到定积分应用一课中,并给出详细的教学设计。
徐聪[8]（2020）在《复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法》文中研究说明伴随着人类知识范围的扩展,非线性科学的地位不断上升。由于非线性模型并不满足叠加原理,不能通过对问题的简单分解来进行量化分析,因此不存在一般的获取精确解的解析方法。为了求解非线性问题,数值计算方法在大多数情况下是惟一可行的选择,并占据着至关重要的位置。另外,实际问题还要求可在复杂区域上执行的算法,而目前的传统方法难以同时处理发生在复杂区域上的非线性问题。注意到本研究组在先前工作中提出的小波方法具有求解非线性方程的强大潜力,本文将其扩展到不规则区域上,提出一种兼顾非线性处理与复杂区域求解的高精度小波数值方法。为了形成一套普适性的求解初边值问题的总体方案,本文还给出了一种计算初值问题的小波多步方法。此外,在前人工作的基础上,本文进一步提高了小波方法对非线性方程的计算精度。Coiflet族小波具有适合数值计算的优良属性。作为基础工作,在滤波器系数组的设计上,本文通过改变消失矩参数的方式,给出了几种属于3N+2族的Coiflet小波。它们比前人工作中构建的3N族小波具备更好的光滑性,可将基函数展开的收敛速度提高一阶。本文在理论上提出了一种适用于Coiflet型小波的改进的计算支撑区间外多重积分值的方法,提供了一种直接的多项式型的解析表达式。该式能够快速计算任意点上的积分值,且不再依赖于滤波系数的介入。这减少了可能的数值舍入误差并提升效率,也为后文的数值积分格式作出了铺垫工作。在小波逼近格式方面,为了减少边界延拓引入的额外误差,本文构造了高阶的Lagrange型延拓格式,克服了原有方案采用的低阶差分格式与小波方法自身的高精度并不匹配的问题。该式在15节点下对tanh（x）的逼近误差可以低至10-8量级,优于其它算法。将该式扩展到二维区域,未发现边界附近的误差有明显增大的现象,证明了其有效性。由于强非线性问题对逼近精度的要求很高,本文构造了一种引入Richardson外推技术的高精度小波配点方法。通过引入半步长的方式并调整系数,能够抵消掉低阶误差项,从而提高了算法的收敛速度。它保留了原算法的全部优点,拥有插值性与高阶光滑性,能够解耦方程中的低阶项与高阶项,使得误差与逼近格式自身无关,且容易施加边界条件,可以无缝替代原算法。最后介绍了一种积分型的小波逼近方法。考虑到未来的工作要在更一般的区间上求解问题,插值点的数量可能会跟随边界形状而不断变化,本文通过使用Newton形式的单向延拓对原有算法进行修改。该格式移除了原算法的一些限制,现可使用任意数量的插值点并在任意长度的区间内施行,这是本文在复杂区域上进行计算的核心之一。对比了4、5与6点方案,我们发现取6节点的延拓已经几乎抑制了边界附近的误差波动。在几何形状复杂的区域上,经典算法往往精度受限,这对非线性问题的计算十分不利。部分精度较好的算法通常难于处理不规则区域,且施加边界条件遭遇到困难。为了兼顾两方面的需求,作为本文的主要工作,提出了一种可在任意形状区域上执行的小波方法。该方法具有良好的泛用性,对边界形式没有特殊要求。它采用了将复杂区域嵌入直角坐标网格的处理方式,无须去拟合复杂的曲线边界,不需要耗费大量时间的网格生成工作,可配合各种简单的网格划分技术以提高效率。小波基的高度光滑性质使此方法具备快速的收敛速度,能够容许在相对粗糙的网格上进行操作,并仍可给出较高精度的结果。小波基的插值性质允许该方法能以简洁的方式操作非线性算子。作为强形式的配点方法,无需将方程修改为弱形式,可以直接求解,对变分原理不存在的某些非线性问题同样有效。其高度的稳定性与合适的边界延拓相结合,避免了其它方法中的系数矩阵病态与边界振荡的弱点。此法还能以精确形式满足不同种类的边界条件,而不是采取某种近似方式来施加。该方法直接生成适合大规模计算的稀疏矩阵,避免了某些经典方法中先离散然后根据边界条件修改总体矩阵带来的低效率。为了分析随时间发展的动态问题,本文提出了一种求解初值问题的小波多步算法。通过调整小波消失矩的参数,可构造出一种强稳定的隐式多步方案。这种方法的导出过程并未借助于传统理论,而是从Coiflet小波近似格式得到。然而其一致性、收敛性与稳定性却能满足经典理论给定的必备条件。绘制出的稳定区域图像与阶星图也能从侧面证明这些属性。利用一种小波逼近给出的预测方法,可以与上述隐式方法合并,从而建立出一套完整的显式的预测-校正方案。若引入Richarson外推技术,这种算法还能进一步加速。我们将会把这种方法与空间上复杂区域的小波算法结合起来,以形成一套总体的初边值问题求解方案。最后,本文通过对一些典型数学方程的计算来展示上述小波方法的优点。由于p-Laplacian方程蕴含了很多数值计算中的难关,其数值解答具备较高的实用价值。在导出新算法的过程中,本文将其作为非线性方程的典型范例进行研究。求解过程中利用了先前建立的小波Galerkin方法与新型小波方法的基本思想。小波方法展现出高精度的特性。其中一例显示小波方法达到了10-7量级的精度,远远好于有限元方法。另一例表明小波方法使用70%左右的节点数便达到了与有限单元法相近水准的精度。与两种有限体积方法的对比,表明小波方法拥有更快的收敛速度。当利用积分型的小波方法求解此问题时,它给出的解与打靶法和有限差分方法几乎完全一致。然而小波方法仅使用1/32的步长,其精度便与差分方法在1/800步长下输出的解大致相当。表明小波型方法具有极高的精度。通过小波Richardson配点方法,计算了数个具有代表性的非线性方程以及一个稳态流动问题。数值结果表明此算法提高了计算精度,其预期行为与理论完全相符,取得了5阶的收敛性能。其中一例显示此法在16节点下的精度已经接近了原方法在32节点下的精度。另一例的结果表明这种新方法计算出的解比原方法更平稳。在不同形状的几何区域上,本文计算了非线性Poisson方程、直杆扭转问题与薄板弯曲问题。小波方法不仅精度优异,对边界的形式也不敏感。相比于有限单元法,小波方法收敛十分快速,在1000个节点以内便能接近有限元方法超过6000节点才能达到的精度,表明其良好的计算效率。其中一例显示出在有限元方法收敛较慢且精度不佳的情形,小波方法仍然有能力计算出高精度的解。多个非线性初值问题的算例展示了小波隐式与显式多步方法的精度与收敛性能。其中一例显示出,对于一些同阶的其它算法不能很好处理的问题,小波多步方法仍可提供较优的计算精度。
张晓龙[9]（2019）在《解析逼近方法和谱方法中几类问题研究》文中研究表明在工程和科学计算中,微分方程占据着非常重要的地位。但令人遗憾的是对于大部分非线性微分方程目前没法得到其精确解,即使对于某些线性微分方程也没法得到其精确解。因而微分方程的逼近解受到了科研人员广泛关注。目前逼近方法主要可以分为两类:解析逼近方法和数值逼近方法。在解析逼近方法中本文主要研究了 Adomian分解法（ADM）、带有收敛加速参数的解析逼近方法（AMP）和同伦分析方法（HAM）。在数值逼近方法中本文主要研究谱方法。这两类方法虽然表面上看似没有联系,其实它们都是求解级数解的方法。本文主要围绕级数解的收敛性、误差估计及计算效率展开研究。主要成果如下:1.给出了 Adomian分解法的算法机理,证明了 Adomian分解法可以由一般的Lya-punov’s人工小参数法得到。2.提出了一种求解非线性问题的新算法——带有收敛加速参数c的解析逼近方法（AMP）,这个收敛加速参数c用于调节所得到的级数解的收敛速度和收敛区间。在此基础上,本文进一步提供了求解最优加速收敛参数c的具体方法。与ADM相比,当收敛参数取最优值时AMP所得到的级数解的收敛速度和收敛区间大大增大。同时,本文也证明了 Adomian分解法为AMP方法的一种特殊情况,即当收敛加速参数c=1的情形。3.对含有Lidstone边界条件的2n（n ∈ N+）阶线性微分方程和非线性微分方程,分别给出这两类微分方程同伦级数解的误差估计。为了分析误差,首先给出含有Lid-stone 边界条件的线性微分方程和非线性微分方程解的存在唯一性条件。4.给出了半无限区域上有理Chebyshev谱方法实现加速收敛的途径:二次映射z =Z + ∈Z2和Sinh映射z =1/Lsinh（LZ）,并且比较了恒等映射、二次映射和Sinh映射所得到解的收敛速度。当求解奇异微分方程时,二次映射所得解的收敛速度大于恒等映射所得解的收敛速度,Sinh映射所得解的收敛速度大于二次映射所得解的收敛速度。从渐近和数值角度,利用三种映射变换下的有理Chebyshev谱方法分析了半无限区间上奇异微分方程:Thomas-Fermi方程。5.首先定义了谱系数的有界包络函数和最优截断,然后给出了最优截断的判断定理,最后分析了几类多元Chebyshev和Fourier级数的最优截断。Chebyshev和Fourier谱方法之所以可以用于求解高维空间问题是由于它们结合使用了 Smolyak网格点和双曲交叉截断。双曲截断的最优情形是函数为“Crossy”函数,但是什么样的函数是“Crossy”函数呢?虽然目前仍不能给出准确的回答,但是结合低秩的SVD分解、Poisson和定理、周期函数和双曲坐标对其进行了分析。对于秩为一且边界或者区域内部含有弱奇点的函数,双曲交叉截断确实为最优的,此时函数的谱系数为代数收敛。
汪雪川[10]（2017）在《非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用》文中研究表明非线性动力学系统广泛存在于许多自然科学及工程应用领域中,由于其中包含了非线性项,其分析求解面临着许多困难。而实际问题一方面受到多种非线性因素的影响,另一方面又对问题求解的实时性和精确性有一定的要求。这使得相关的高性能计算方法成为工程应用和科学研究中迫切需求的工具。为了分析非线性动力学系统的稳态和瞬态响应,现有的研究往往会用到两大类方法——渐近法和加权残余法。然而,在实际应用中,这两种方法分别存在符号计算量过大和数值计算不稳定的隐患。本文在这两种方法的基础上,针对航天工程中的结构振动和轨道运动问题,提出了含间隙非线性结构振动的快速仿真计算方法,及航天器周期性相对运动轨道的快速精确搜索算法。此外,提出了反馈Picard迭代-配点方法,避免了渐近方法和加权残余法中分别存在的重大缺陷:（i）符号计算量过大;（ii）求解非线性方程组导致的数值不稳定问题。具体研究内容包括:1)为含间隙非线性结构振动提供了一种快速仿真计算方法。利用微分变换法计算简单、通用性强的特点,本文将其应用于包含复杂积分非线性项的系统求解中,并针对非线性项中存在的间隙不连续性采用了Henon方法来辅助定位分段函数的切换点。这使得我们能够精确地得到含间隙非线性系统的复杂动力学响应及关于系统参数的分岔曲线,而一般的Runge-Kutta方法则无法得到符合实际情况的仿真结果。2)提出了航天器周期性相对运动轨道的快速精确搜索算法。将时间域的配点方法应用到航天器相对运动动力学模型的求解中,通过将原始系统转化为非线性代数方程组,能够快速地得到系统中存在的周期解。这一方法能够有效替代常用的打靶法,极大地提高了周期性相对运动轨道的搜索效率和精度。此外,在这一算法的基础上提出的控制策略能够有效实现低燃耗的周期性相对运动轨道保持。3)揭示了渐近方法中的三种方法——Picard方法、Adomian解耦法和变分迭代法——之间存在的内在联系。通过揭示这三种方法的内在联系,本文证明了Picard迭代方法和Adomian解耦法是变分迭代法的特殊形式,而变分迭代法本质上是拉格朗日乘子的一般化使用。在这一结论的基础上,进一步改进了变分迭代法,得到了一种全新的局部变分迭代法。后者能够有效预测非线性系统的长期响应,同时降低了求解过程中符号计算的困难。4)针对强非线性系统提出了一种新的反馈Picard迭代-配点方法。该方法能够完全避免变分迭代法中繁琐的符号运算,同时又免除了时间域配点方法中非线性代数方程组的求解。这种新方法能够直接应用于一般的非线性动力学系统模型,通过迭代计算得到系统的真实动力学响应。相比于文献中现有的计算方法如有限差分法、配点法,或者其他的迭代方法,这种新的反馈Picard迭代-配点方法具有更高的计算效率及计算精度。仿真计算结果说明这一方法在相同的计算时间内,有效计算步长可达有限差分法的上千倍,计算精度比有限差分法要高出多个数量级。5)为摄动环境中航天器轨道递推和轨道转移提供了一种高性能计算方法。利用反馈Picard迭代-配点方法计算量小、精度高、收敛速度快、计算稳定性强等特点,将其应用于轨道递推及轨道转移的计算求解中。（i）该方法在轨道递推计算中能够达到机器精度。相比于工程中常用的精确积分方法如Runge-Kutta 12（10）,反馈Picard迭代-配点法的计算效率提高了几十倍,同时能达到更高的计算精度。（ii）反馈Picard迭代-配点法同时也能够快速精确的求解摄动力作用下的轨道转移问题。相比于同类型问题中的其他解决方案如打靶法,本文提出的方法能够以远低于打靶法的计算量满足任务的需求。
二、函数在任意区间上的三角级数（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、函数在任意区间上的三角级数（论文提纲范文）
（1）基于Coq的数学分析中级数理论的形式化（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 国内外发展现状 |
| 1.3 交互式定理证明工具Coq简介 |
| 1.4 级数理论简介 |
| 1.5 本文研究内容及结构安排 |
| 第二章 Coq的基本知识 |
| 2.1 Coq中的项 |
| 2.1.1 类型和表达式 |
| 2.1.2 声明和定义 |
| 2.1.3 归纳定义 |
| 2.2 命题和证明 |
| 2.2.1 Coq中的命题 |
| 2.2.2 依赖积 |
| 2.2.3 交互式证明 |
| 第三章 基本概念的形式化 |
| 3.1 集合的形式化 |
| 3.2 函数的形式化 |
| 3.3 极限的形式化 |
| 3.3.1 数列极限 |
| 3.3.2 函数极限与导数 |
| 3.3.3 幂函数 |
| 第四章 级数理论的形式化 |
| 4.1 数项级数的形式化 |
| 4.1.1 数项级数的收敛性 |
| 4.1.2 正项级数 |
| 4.1.3 一般项级数 |
| 4.2 函数项级数的形式化 |
| 4.2.1 函数列 |
| 4.2.2 函数项级数 |
| 4.2.3 幂级数 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 研究总结 |
| 5.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的学术成果 |
（2）面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 教师教育者的专业发展需要关注 |
| 1.1.2 数学教师教育者的研究值得重视 |
| 1.1.3 数学教师教育者的专业知识有待探索 |
| 1.2 研究问题 |
| 1.3 研究意义 |
| 1.3.1 理论意义 |
| 1.3.2 实践意义 |
| 1.4 论文结构 |
| 第2章 文献述评 |
| 2.1 数学教师教育者的专业知识 |
| 2.1.1 数学教师教育者的专业知识框架 |
| 2.1.2 数学教师教育者的专业知识测评 |
| 2.1.3 文献小结 |
| 2.2 数学教师教育者的专业发展 |
| 2.2.1 数学教师教育者的专业发展框架 |
| 2.2.2 数学教师教育者的专业发展调查 |
| 2.2.3 文献小结 |
| 2.3 数学教师教育者的工作实践 |
| 2.3.1 数学教师教育课堂的学习任务框架 |
| 2.3.2 数学教师教育课堂的学习任务实践 |
| 2.3.3 文献小结 |
| 2.4 文献述评总结 |
| 第3章 研究方法 |
| 3.1 研究设计 |
| 3.1.1 文献分析与框架确立 |
| 3.1.2 问卷调查与深度访谈 |
| 3.1.3 现场观察与案例分析 |
| 3.2 研究对象 |
| 3.2.1 专家论证对象 |
| 3.2.2 问卷调查对象 |
| 3.2.3 深度访谈对象 |
| 3.2.4 案例研究对象 |
| 3.3 研究工具 |
| 3.3.1 论证手册 |
| 3.3.2 调查问卷 |
| 3.3.3 访谈提纲 |
| 3.3.4 观察方案 |
| 3.4 数据收集 |
| 3.4.1 专家论证 |
| 3.4.2 问卷调查 |
| 3.4.3 深度访谈 |
| 3.4.4 现场观察 |
| 3.5 数据分析 |
| 3.5.1 专家论证 |
| 3.5.2 问卷与访谈 |
| 3.5.3 现场观察 |
| 第4章 研究结果(一):面向教师教育的数学知识框架 |
| 4.1 文献分析 |
| 4.1.1 已有框架选取 |
| 4.1.2 相关成分析取 |
| 4.1.3 相关类别编码 |
| 4.2 框架构建 |
| 4.2.1 相关类别合并 |
| 4.2.2 相应成分生成 |
| 4.2.3 初步框架构建 |
| 4.3 框架论证 |
| 4.3.1 第一轮论证 |
| 4.3.2 第二轮论证 |
| 4.3.3 第三轮论证 |
| 第5章 研究结果(二):高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识 |
| 5.1 学科内容知识 |
| 5.1.1 一般内容知识 |
| 5.1.2 专门内容知识 |
| 5.1.3 关联内容知识 |
| 5.2 教学内容知识 |
| 5.2.1 内容与学生知识 |
| 5.2.2 内容与教学知识 |
| 5.2.3 内容与课程知识 |
| 5.3 高观点下的数学知识 |
| 5.3.1 学科高等知识 |
| 5.3.2 学科结构知识 |
| 5.3.3 学科应用知识 |
| 5.4 数学哲学知识 |
| 5.4.1 本体论知识 |
| 5.4.2 认识论知识 |
| 5.4.3 方法论知识 |
| 5.5 总体分析 |
| 5.5.1 学科内容知识 |
| 5.5.2 教学内容知识 |
| 5.5.3 高观点下的数学知识 |
| 5.5.4 数学哲学知识 |
| 第6章 研究结果(三):数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识 |
| 6.1 案例1 |
| 6.1.1 第一轮观察:平均值不等式 |
| 6.1.2 第二轮观察:对数的概念 |
| 6.1.3 案例1 总体分析 |
| 6.2 案例2 |
| 6.2.1 第一轮观察:幂函数的概念 |
| 6.2.2 第二轮观察:函数的基本性质 |
| 6.2.3 案例2 总体分析 |
| 6.3 案例3 |
| 6.3.1 第一轮观察:幂函数的概念 |
| 6.3.2 第二轮观察:出租车运价问题 |
| 6.3.3 案例3 总体分析 |
| 6.4 案例4 |
| 6.4.1 第一轮观察:反函数的概念 |
| 6.4.2 第二轮观察:反函数的图像 |
| 6.4.3 案例4 总体分析 |
| 6.5 跨案例分析 |
| 6.5.1 学科内容知识 |
| 6.5.2 教学内容知识 |
| 6.5.3 高观点下的数学知识 |
| 6.5.4 数学哲学知识 |
| 6.5.5 案例总体分析 |
| 第7章 研究结论及启示 |
| 7.1 研究结论 |
| 7.1.1 面向教师教育的数学知识框架 |
| 7.1.2 高中数学教研员具备的面向教师教育的数学知识 |
| 7.1.3 高中数学教研活动中反映的面向教师教育的数学知识 |
| 7.2 研究启示 |
| 7.2.1 教师教育者的专业标准制订需要关注学科性 |
| 7.2.2 数学教师教育者的专业培训需要提升针对性 |
| 7.2.3 数学教师专业发展项目规划需要增加多元性 |
| 7.3 研究局限 |
| 7.4 研究展望 |
| 7.4.1 拓展数学教师教育者的专业知识研究 |
| 7.4.2 深入数学教师教育者的专业发展研究 |
| 7.4.3 延伸数学教师教育者的工作实践研究 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 论证手册(第一轮) |
| 附录2 论证手册(第二轮) |
| 附录3 论证手册(第三轮) |
| 附录4 调查问卷(第一版) |
| 附录5 调查问卷(第二版) |
| 附录6 调查问卷(第三版) |
| 附录7 调查问卷(第四版) |
| 附录8 调查问卷(第五版) |
| 附录9 访谈提纲 |
| 附录10 观察方案 |
| 作者简历及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（3）L-函数与指数和的加权均值问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及选题意义 |
| 1.2 本文工作及章节安排 |
| 第二章 Riemann zeta-函数与Mathieu级数的余项估计问题 |
| 2.1 引言与主要结果 |
| 2.2 Riemann zeta-函数的余项估计问题 |
| 2.3 Mathieu级数的余项估计问题 |
| 第三章 Dirichlet L-函数的平方均值问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 几个引理 |
| 3.4 定理的证明 |
| 第四章 Gauss和的推广形式的高次均值问题 |
| 4.1 广义二项指数和的四次均值 |
| 4.2 Gauss和与广义Kloosterman和的混合均值 |
| 第五章 Narayana序列与Fubini多项式的递推性质 |
| 5.1 Narayana序列的递推性质 |
| 5.2 Fubini多项式的递推性质 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 附录A Dirichlet L-函数的平方均值的数值结果 |
| 附录B 关于Narayana序列的数值结果 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 作者简介 |
（4）复杂电磁问题分治算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本课题的研究现状 |
| 1.2.1 快速算法 |
| 1.2.2 区域分解 |
| 1.2.3 直接解法 |
| 1.3 本文的主要工作及撰写安排 |
| 1.4 参考文献 |
| 1.4.1 快速算法 |
| 1.4.2 区域分解 |
| 1.4.3 直接解法 |
| 第二章 面向复杂目标的多向多层快速复空间多极子算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 多层算法框架 |
| 2.2.1 经典多层结构 |
| 2.2.2 方向性多层结构 |
| 2.2.3 进一步的讨论 |
| 2.3 复空间多极子表示 |
| 2.3.1 经典转移算子 |
| 2.3.2 高斯波束转移算子 |
| 2.3.3 不变量关系 |
| 2.4 数值积分与球面插值 |
| 2.4.1 插值点与积分点相分离 |
| 2.4.2 球冠区域上的数值积分 |
| 2.4.3 单位球面上的局部插值 |
| 2.5 算法步骤与复杂度分析 |
| 2.5.1 算法建立阶段 |
| 2.5.2 算法求解阶段 |
| 2.5.3 算法复杂度分析 |
| 2.6 数值算例 |
| 2.6.1 算法基本性能测试与分析 |
| 2.6.2 面向典型情形的计算和验证 |
| 2.6.3 进一步的讨论 |
| 2.7 本章小结 |
| 2.8 参考文献 |
| 第三章 面向电大问题的数值稳定的多向多层快速非均匀平面波算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 快速非均匀平面波算法基本公式 |
| 3.2.1 非均匀平面波展开 |
| 3.2.2 最陡下降路径与数值积分 |
| 3.2.3 方向图函数外推与插值 |
| 3.2.4 关于加窗特性的讨论 |
| 3.3 多层结构与格林函数展开式 |
| 3.3.1 基于线性远场条件的经典多层结构 |
| 3.3.2 基于二次远场条件与有效窗的方向性多层结构 |
| 3.4 数值稳定性分析与参数控制 |
| 3.4.1 关键模块和分析对象 |
| 3.4.2 被积函数的幅度特性 |
| 3.4.3 最陡下降路径的截断点 |
| 3.4.4 路径区间上的数值积分 |
| 3.4.5 外推核函数的幅度特性 |
| 3.4.6 方向图函数的幅度特性 |
| 3.4.7 方向图函数的外推误差 |
| 3.4.8 总结与讨论 |
| 3.5 球面样点与算法步骤 |
| 3.5.1 坐标系和球面样点 |
| 3.5.2 算法的建立与执行 |
| 3.6 数值算例 |
| 3.6.1 面向电大问题的计算和验证 |
| 3.7 本章小结 |
| 3.8 参考文献 |
| 第四章 基于完全匹配层的多向多层快速同伦多极子算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于完全匹配层的格林函数展开式 |
| 4.2.1 基于完全匹配层的模式级数 |
| 4.2.2 场点和源点分离表示 |
| 4.2.3 均匀平面波表示 |
| 4.3 空谱域方向性多层框架 |
| 4.3.1 基于等效源的方向性多层算法 |
| 4.3.2 基于平面波的方向性多层算法 |
| 4.4 完全匹配层的配置和误差分析 |
| 4.4.1 完全匹配层复厚度的选择 |
| 4.4.2 矩形波导复模式级数的特性 |
| 4.4.3 定向性圆锥的角度量级 |
| 4.4.4 方向图函数的复平面外推 |
| 4.4.5 总结和讨论 |
| 4.5 同伦路径 |
| 4.5.1 内蕴的同伦路径 |
| 4.5.2 关于内在联系的讨论 |
| 4.6 数值算例 |
| 4.6.1 测试计算性能 |
| 4.7 本章小结 |
| 4.8 参考文献 |
| 第五章 基于预拆分格林函数的电磁多尺度问题高效分析方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 基于预拆分格林函数的方法 |
| 5.2.1 预拆分格林函数 |
| 5.2.2 传输波相关的计算 |
| 5.2.3 凋落波相关的计算 |
| 5.2.4 进一步的讨论 |
| 5.3 数值算例 |
| 5.3.1 验证算法的正确性 |
| 5.3.2 测试算法的计算性能 |
| 5.3.3 面向实际目标的计算 |
| 5.4 本章小结 |
| 5.5 附录1 相关的格林函数表达式 |
| 5.6 附录2 三阶矩阵解析求逆公式 |
| 5.7 参考文献 |
| 第六章 复杂电大问题的积分方程黑盒重叠型区域分解方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 区域分解策略 |
| 6.2.1 基于几何模型的区域分解方法 |
| 6.2.2 面向网格模型的盲几何区域分解方法 |
| 6.3 基本迭代方案 |
| 6.3.1 描述基本变量 |
| 6.3.2 描述基本迭代过程 |
| 6.3.3 显式扩展矩阵表示 |
| 6.3.4 外迭代收敛性和鲁棒性问题 |
| 6.4 序列加速收敛 |
| 6.4.1 外迭代过程和改进的思路 |
| 6.4.2 序列加速收敛的安德森加速法 |
| 6.4.3 强化的区域分解迭代方案 |
| 6.4.4 相关讨论 |
| 6.5 外迭代收敛性分析 |
| 6.5.1 特征值和谱半径 |
| 6.5.2 收敛特性 |
| 6.6 数值算例 |
| 6.6.1 面向强谐振目标的计算性能 |
| 6.6.2 面向实际电大目标的计算性能 |
| 6.7 本章小结 |
| 6.8 参考文献 |
| 第七章 基于卡尔德隆预条件组合场积分方程的重叠型区域分解方法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 良态积分方程 |
| 7.2.1 电磁散射模型和基本积分算子 |
| 7.2.2 卡尔德隆预条件组合场积分方程 |
| 7.3 基于卡尔德隆预条件组合场积分方程的重叠型区域分解方法 |
| 7.3.1 区域分解算法建立阶段 |
| 7.3.2 区域分解算法执行阶段 |
| 7.4 算法步骤的注意事项 |
| 7.4.1 区域分解与区域边界 |
| 7.4.2 复合算子的中间空间 |
| 7.5 数值算例 |
| 7.5.1 验证算法的正确性 |
| 7.5.2 测试算法的鲁棒性 |
| 7.5.3 针对实际目标的计算性能 |
| 7.5.4 相关讨论 |
| 7.6 本章小结 |
| 7.7 参考文献 |
| 第八章 基于纽曼级数和骨架分解的积分逆算子稀疏表示 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 积分方程纽曼级数解法 |
| 8.2.1 积分方程 |
| 8.2.2 纽曼级数解 |
| 8.3 逆矩阵的纽曼级数表示 |
| 8.3.1 原矩阵分解表示 |
| 8.3.2 逆矩阵级数表示 |
| 8.4 近场矩阵的骨架分解 |
| 8.4.1 基本思路 |
| 8.4.2 单组消元 |
| 8.4.3 单层消元 |
| 8.4.4 多层消元 |
| 8.4.5 近场矩阵分解表示 |
| 8.5 算法的建立与执行 |
| 8.6 数值算例 |
| 8.7 本章小结 |
| 8.8 参考文献 |
| 第九章 全文总结与展望 |
| 9.1 全文总结 |
| 9.2 心得体会 |
| 9.3 后续展望 |
| 作者读博期间取得的成果 |
| 作者简介 |
| 致谢 |
（5）几类特殊函数的Prony方法逼近研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 论文主要内容 |
| 1.4 组织结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 误差 |
| 2.2 常用数值逼近方法 |
| 2.2.1 幂级数 |
| 2.2.2 渐近级数 |
| 2.2.3 连分式 |
| 第三章 Prony数值逼近方法 |
| 3.1 Prony指数逼近 |
| 3.2 Prony-like三角级数逼近 |
| 3.2.1 余弦形式的Prony-like方法 |
| 3.2.2 正弦形式的Prony-like方法 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 几类特殊函数的Prony方法逼近 |
| 4.1 指数积分 |
| 4.1.1 定义及性质 |
| 4.1.2 数值逼近方法 |
| 4.1.3 不同数值逼近方法的实验结果对比 |
| 4.2 余弦积分 |
| 4.2.1 定义及性质 |
| 4.2.2 数值逼近方法 |
| 4.2.3 不同数值逼近方法的实验结果对比 |
| 4.3 正弦积分 |
| 4.3.1 定义及性质 |
| 4.3.2 数值逼近方法 |
| 4.3.3 不同数值逼近方法的实验结果对比 |
| 4.4 sinc函数 |
| 4.4.1 定义及性质 |
| 4.4.2 数值逼近方法 |
| 4.4.3 不同数值逼近方法的实验结果对比 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 Prony-like方法的优化 |
| 5.1 贝塞尔函数 |
| 5.1.1 贝塞尔函数Prony-like逼近式中参数 ?i的性质 |
| 5.2 优化Prony-like方法中参数 ?i的求解 |
| 5.2.1 切比雪夫多项式与切比雪夫节点 |
| 5.2.2 正弦形式的改进版Prony-like方法 |
| 5.2.3 余弦形式的改进版Prony-like方法 |
| 5.3 优化Prony-like方法中参数 αi的求解 |
| 5.3.1 正弦形式的Prony-like方法 |
| 5.3.2 余弦形式的Prony-like方法 |
| 5.4 实验对比 |
| 5.4.1 整数阶第一类贝塞尔函数J1(x) |
| 5.4.2 整数阶第一类贝塞尔函数J2(x) |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结和展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表论文和科研情况 |
（6）高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以高中函数为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究目的及意义 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.4 函数的发展史 |
| 1.5 相关概念界定 |
| 第二章 文献综述 |
| 2.1 国外研究现状 |
| 2.2 国内研究现状 |
| 2.3 文献述评 |
| 第三章 高等数学视角下的中学数学教学的必要性 |
| 3.1 顺应新课程改革的要求 |
| 3.2 紧跟高考命题的方向 |
| 3.3 中学与大学衔接的要求 |
| 第四章 高等数学视角下的高中函数教学的研究 |
| 4.1 函数在数学课程标准中的要求 |
| 4.2 函数内容在中学的呈现 |
| 4.3 函数内容在大学的呈现 |
| 4.4 大学内容在高中函数教学中的有效渗透 |
| 第五章 近几年函数内容在高考命题中的呈现 |
| 5.1 函数有关内容在考试大纲中的呈现 |
| 5.2 以高等数学的符号、概念为背景设计的函数题 |
| 5.3 以高等数学的思想为背景设计的函数题 |
| 5.4 以高等数学的基本公式为背景设计的函数题 |
| 第六章 中学数学教师利用高等数学的知识指导高中函数教学的调查与分析 |
| 6.1 调查目的 |
| 6.2 调查过程 |
| 6.3 调查对象 |
| 6.4 数据处理方法 |
| 6.5 调查结果与分析 |
| 第七章 《函数的概念》教学设计 |
| 第八章 结论及建议 |
| 8.1 结论 |
| 8.2 建议 |
| 参考文献 |
| 附录一 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
| 伊犁师范大学硕士研究生学位论文导师评阅表 |
（7）初高等数学衔接问题研究 ——以三角、反三角函数为例（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究意义 |
| 1.3 文献综述 |
| 1.3.1 三角函数与反三角函数的研究现状 |
| 1.3.2 教育衔接问题的研究现状 |
| 1.4 小结 |
| 第二章 三角及反三角函数教学及应用现状分析 |
| 2.1 初等数学中三角及反三角函数的教学现状 |
| 2.1.1 数学课程标准中有关三角函数与反三角函数的变化 |
| 2.1.2 近五年三角函数与反三角函数高考试题分析 |
| 2.2 高等数学中三角及反三角函数的应用现状 |
| 2.2.1 极限中三角函数与反三角函数的应用 |
| 2.2.2 微积分中三角函数与反三角函数的应用 |
| 2.2.3 级数中三角函数与反三角函数的应用 |
| 第三章 三角及反三角函数的衔接问题及原因追溯 |
| 3.1 三角及反三角函数存在的衔接问题 |
| 3.2 三角及反三角函数衔接问题的成因 |
| 3.2.1 初等数学中三角及反三角函数衔接问题的成因 |
| 3.2.2 高等数学中三角及反三角函数衔接问题的成因 |
| 第四章 三角及反三角函数衔接建议 |
| 4.1 针对教师提出的衔接建议 |
| 4.1.1 重视学生数学思维的培养 |
| 4.1.2 注重提升学生的学科核心素养 |
| 4.1.3 培养终身学习观念,提升数学修养 |
| 4.2 针对学生提出的衔接建议 |
| 4.2.1 有意识的培养独立自主和善于思考的学习习惯 |
| 4.2.2 发挥理性思辨精神,养成良好学习方法 |
| 4.2.3 体会知识中蕴含的数学文化,激发数学学习兴趣 |
| 4.3 有关课程改革和课程设置方面的衔接建议 |
| 4.3.1 设置开放性渠道,促进学段间的交流 |
| 4.3.2 开设第二课堂,扩大知识领域 |
| 4.3.3 研发大学预修课程,减轻高等教育的压力 |
| 4.4 弱化以考定教的教育环境 |
| 第五章 三角及反三角函数衔接的案例设计 |
| 5.1 《简单的三角恒等变换》教学设计 |
| 5.2 《反正弦函数》教学设计 |
| 第六章 衔接建议在高中定积分应用一课中的应用 |
| （一）问题设疑，引入新知 |
| （二）由浅入深，练习巩固 |
| （三）知识拓展，构建系统框架 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（8）复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 传统数值计算方法面临的困难 |
| 1.2.1 经典数值方法简述 |
| 1.2.2 小波数值方法的发展 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 小波基函数的基础理论 |
| 2.1 小波多分辨率分析 |
| 2.1.1 多分辨率分析基础 |
| 2.1.2 滤波器系数组的构造 |
| 2.2 广义Coiflets小波基函数 |
| 2.2.1 基函数展开与函数值计算 |
| 2.2.2 积分值的改进计算方法 |
| 2.3 本章的总结 |
| 第三章 强非线性问题的Coiflet小波逼近 |
| 3.1 有限区间上的Coiflet小波逼近格式 |
| 3.1.1 一维基本逼近格式与边界条件施加 |
| 3.1.2 任意阶次边界延拓插值公式与二维实现 |
| 3.2 强非线性问题高精度小波Richardson外推配点方法 |
| 3.2.1 小波外推格式与非线性算子作用法则 |
| 3.2.2 邻近节点内插技术 |
| 3.3 强非线性问题的积分型Coiflet小波逼近格式 |
| 3.3.1 在标准化区间上的小波积分型离散格式 |
| 3.3.2 从简单区间推广到一般区间的考虑 |
| 3.4 本章的总结 |
| 第四章 复杂区域内求解的小波方法 |
| 4.1 任意区域上的嵌入型网格技术 |
| 4.1.1 小波方法的积分节点 |
| 4.1.2 复杂区域上的小波格式 |
| 4.2 边界条件代入与细节调整 |
| 4.2.1 导入不同边界条件的直接形式 |
| 4.2.2 选取合适的参数。 |
| 4.3 时域求解的小波多步方法 |
| 4.3.1 小波隐式多步方法 |
| 4.3.2 小波显式预测-校正算法 |
| 4.4 本章的总结 |
| 第五章 小波方法在边值与初值问题求解的应用 |
| 5.1 强非线性方程的小波解法 |
| 5.1.1 求解p-Laplacian方程 |
| 5.1.2 小波Richardson配点法求解非线性方程 |
| 5.2 不规则二维区域上的小波方法应用 |
| 5.2.1 非线性Poisson方程的求解 |
| 5.2.2 直杆扭转问题 |
| 5.2.3 薄板弯曲问题 |
| 5.3 动态问题的小波多步方法应用 |
| 5.3.1 常微分方程的示例 |
| 5.3.2 偏微分方程的示例 |
| 5.4 本章的总结 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（9）解析逼近方法和谱方法中几类问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 Adomian分解法 |
| 1.1.2 同伦分析方法 |
| 1.1.3 谱方法 |
| 1.2 研究动机 |
| 1.3 文章结构 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 重要不等式 |
| 1.4.2 二元函数的低秩逼近 |
| 1.4.3 Poisson和定理 |
| 2 Adomian分解法的原理 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Lyapunov's人工小参数法 |
| 2.3 Adomian分解法算法原理 |
| 2.4 小结 |
| 3 带有收敛加速参数的解析逼近方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 AMP算法 |
| 3.3 AMP的应用 |
| 3.3.1 非线性热变换问题 |
| 3.3.2 非线性悬臂梁静电NEMS模型 |
| 3.3.3 非线性Burgers方程 |
| 3.3.4 非线性正则长波方程 |
| 3.4 小结 |
| 4 2n阶Lidstone微分方程解的存在唯一性和误差估计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 2n阶线性微分方程 |
| 4.3 2n阶非线性微分方程 |
| 4.4 应用例子 |
| 4.5 小结 |
| 5 半无限区域上加速收敛的有理Chebyshev谱方法 |
| 5.1 半无限区域上有理Chebyshev谱方法 |
| 5.2 加速收敛途径:映射 |
| 5.3 应用:Thomas-Fermi方程 |
| 5.3.1 问题描述 |
| 5.3.2 系数的复渐近 |
| 5.3.3 迭代和消元 |
| 5.3.4 去初始点平方根奇异性 |
| 5.3.5 解的渐近表达式 |
| 5.3.6 恒等映射 |
| 5.3.7 二次映射 |
| 5.3.8 Sinh映射 |
| 5.3.9 有理Chebyshev谱方法的比较 |
| 5.3.10 Fourier区域截断法 |
| 5.3.11 Newton-Kantorovich迭代失效的情况 |
| 5.3.12 数值结果 |
| 5.4 小结 |
| 6 多元Fourier和Chebyshev级数的最优截断 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 谱系数的包络函数 |
| 6.3 双曲坐标 |
| 6.4 截断和最优截断 |
| 6.5 几类函数的最优截断 |
| 6.6 强各向异性和长方形截断 |
| 6.7 Poisson和及最优截断 |
| 6.8 双曲坐标中的Fourier逆变换 |
| 6.9 数值例子 |
| 6.10 球面、三角形和圆盘上的最优截断 |
| 6.10.1 球面 |
| 6.10.2 三角形 |
| 6.10.3 圆盘 |
| 6.11 小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 创新点 |
| 7.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 非线性动力学计算方法 |
| 1.2.2 飞行器的非线性结构振动 |
| 1.2.3 近地航天器的相对运动 |
| 1.2.4 近地航天器轨道递推和转移 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.3.1 论文目标 |
| 1.3.2 论文内容安排 |
| 第2章 飞行器的非线性结构振动及求解方法对比 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 非线性二元机翼模型 |
| 2.3 间隙非线性气弹系统的求解方法 |
| 2.3.1 与Henon法结合的Runge-Kutta法 |
| 2.3.2 微分变换法 |
| 2.3.3 原始系统的微分变换方程 |
| 2.4 结果与分析 |
| 2.4.1 由状态空间模型得到的仿真结果 |
| 2.4.2 由原始系统得到的微分变换法结果 |
| 2.5 本章小结 |
| 2.6 本章附录 |
| 第3章 近地航天器周期性相对运动轨道的精确搜索算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 周期轨道求解方法 |
| 3.3 时域配点法迭代初值的选取 |
| 3.3.1 Clohessy-Wiltshire方程 |
| 3.3.2 Tschauner-Hempel方程 |
| 3.4 时域配点法求解方案评估 |
| 3.4.1 闭合投影轨道 |
| 3.4.2 闭环控制策略 |
| 3.5 结果和分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 3.7 本章附录 |
| 第4章 局部变分迭代法:变分迭代法、Adomian解耦法及Picard迭代法的统一 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 Picard方法,Adomian解耦法和变分迭代法 |
| 4.2.1 Picard方法 |
| 4.2.2 Adomian解耦法 |
| 4.2.3 变分迭代法 |
| 4.3 变分迭代法及Picard迭代法和Adomian解耦法之间的内在联系 |
| 4.4 局部变分迭代法 |
| 4.4.1 全局变分迭代法的缺陷 |
| 4.4.2 局部变分迭代法 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 基于局部变分迭代法及配点法的非线性系统求解方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 局部变分迭代法及其变型 |
| 5.2.1 算法一:消除拉格朗日乘子 |
| 5.2.2 算法二:拉格朗日乘子的多项式估计 |
| 5.2.3 算法三:一般拉格朗日乘子的指数估计 |
| 5.3 配点法 |
| 5.4 使用配点法推导算法一、二、三的弱形式 |
| 5.4.1 算法一的弱形式 |
| 5.4.2 算法二的弱形式 |
| 5.4.3 算法三的弱形式 |
| 5.5 强非线性问题求解 |
| 5.5.1 受迫Duffing方程 |
| 5.5.2 Lorenz系统 |
| 5.5.3 耦合Duffing系统 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 反馈加速Picard迭代方法:轨道递推及Lambert问题 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 修正变分迭代/配点法 |
| 6.2.1 修正变分迭代方法 |
| 6.2.2 与配点法的结合使用 |
| 6.3 摄动轨道递推 |
| 6.3.1 与修正Chebyshev-Picard迭代方法的比较 |
| 6.3.2 与Runge-Kutta12(10)方法的比较 |
| 6.4 摄动Lambert问题 |
| 6.4.1 反馈加速Picard迭代方法 |
| 6.4.2 逐步生长法 |
| 6.5 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 论文工作总结 |
| 7.2 论文创新点概括 |
| 7.3 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
四、函数在任意区间上的三角级数（论文参考文献）
- [1]基于Coq的数学分析中级数理论的形式化[D]. 赵保强. 北京邮电大学, 2021(01)
- [2]面向教师教育的数学知识研究 ——以S市高中数学教研员为例[D]. 沈中宇. 华东师范大学, 2021(08)
- [3]L-函数与指数和的加权均值问题研究[D]. 林馨. 西北大学, 2021(12)
- [4]复杂电磁问题分治算法研究[D]. 朱广豫. 东南大学, 2020
- [5]几类特殊函数的Prony方法逼近研究[D]. 何一璇. 华东师范大学, 2020(10)
- [6]高等数学视角下的中学数学教学研究 ——以高中函数为例[D]. 颜冬梅. 伊犁师范大学, 2020(12)
- [7]初高等数学衔接问题研究 ——以三角、反三角函数为例[D]. 李妍. 海南师范大学, 2020(01)
- [8]复杂区域强非线性力学问题求解的小波方法[D]. 徐聪. 兰州大学, 2020(01)
- [9]解析逼近方法和谱方法中几类问题研究[D]. 张晓龙. 大连理工大学, 2019(01)
- [10]非线性系统的反馈Picard迭代-配点方法及应用[D]. 汪雪川. 西北工业大学, 2017(02)